Квадратичные числа, корни и домены: основные правила Квадратичные функции, уравнения и неравенства показывают, как определять допустимые входные данные, особенно с квадратными корнями и рациональными формами. Допустимые значения зависят от того, чтобы радикалы были неотрицательными, а знаменатели отличными от нуля. Умножение или деление неравенства на отрицательное значение изменяет знак неравенства, а числовая строка уточняет интервалы. Дискриминант (Δ = b ^ 2 − 4ac) и разложение на множители определяют корни, которые привязывают границы интервала.
Нечастичный радикал: Принудительно >= 0 Для выражения типа √(3x − x ^ 2) требуется 3x − x ^ 2 >= 0, поскольку квадратные корни возвращают только неотрицательные значения. Умножьте x(3x) >= 0 и проанализируйте знаки в числовой строке. Допустимые значения x лежат между нулями, что дает область [0, 3].
Радикал в знаменателе: Принудительно > 0 Когда квадратный корень появляется в знаменателе, не используйте ноль, требуя, чтобы радикал был строго положительным. Для 6x − 3x ^ 2 > 0 умножьте на 3x(2 − x) > 0 и решите с помощью интервалов. Решением является (0, 2), исключающее конечные точки, чтобы избежать деления на ноль; допускаются десятичные дроби внутри открытого интервала, при этом 1 является единственным целым числом.
Проверка направления неравенства и числовой линии При делении или умножении неравенства на -1 знак неравенства меняется на противоположный; помните об этом при перестановке слагаемых. Обозначьте критические точки на координатной линии сплошными (включенными) или открытыми (исключенными) точками. Проверьте удобные значения в каждом интервале, чтобы подтвердить знаки, а не предполагать закономерности.
Рациональное выражение: Исключить нули в знаменателе, решить числитель Для (6 − 5x − x ^ 2)/x ^ 2 сначала примените x != 0, затем решите 6 − 5x − x ^ 2 > = 0 в числителе. Умножьте на -1, чтобы получить x ^ 2 + 5x − 6 <= 0, вычисляем корни и используем их для привязки решения. При корнях -6 и 1 и положительном начальном коэффициенте решение равно [-6, 1]; удаление x = 0 приводит к объединению [-6, 0) (0, 1).
Эффективное использование дискриминанта Используйте Δ = b ^ 2 − 4ac для определения корней и конечных точек интервала; например, Δ = 49 дает √Δ = 7. Не упрощайте квадратные корни, такие как √ 134, если они плохо поддаются разложению на множители. Упрощайте, когда это возможно, например,, √250 = √(25·10) = 5√10, чтобы упростить последующие шаги.
Направляющие для ориентации по параболе Обозначают области При положительном переднем коэффициенте парабола открывается вверх и имеет отрицательное значение между своими действительными корнями для <= 0 введите неравенства. Найдя корни, поместите их в числовую строку и отметьте простое значение (например, 0), чтобы подтвердить признаки области. Выберите области, соответствующие символу неравенства, включая конечные точки, если это разрешено.
Установите членство и скобки Используйте “принадлежит”, чтобы указать, что x находится в интервале, и “не принадлежит”, когда задачи задают исключение. Квадратные скобки [ ] обозначают включение; круглые скобки ( ) обозначают исключение. Выражая исключения, опишите дополнения, например, x, не входящий в [0, 2], может быть записан как (−бесконечность, 0) и (2, бесконечность).
Сочетание линейного знаменателя и квадратичного ограничения Если x + 3 != 0 и 6 − 5x − x ^ 2 > = 0, преобразуйте квадратичную величину в x ^ 2 + 5x − 6 <= 0 и решите. Квадратичный результат равен [-6, 1]; исключение x = -3 из знаменателя приводит к удалению этой единственной точки. Конечная область - [-6, -3) объединение (-3, 1).
Квадратичное неравенство с a = 3 Решите 3x ^ 2 − x − 14 > = 0, используя Δ = 169 и √ Δ = 13. Корни равны x = -2 и x = 7/3; так, чтобы парабола открывалась вверх, выберите внешние области. Набор решений равен (−бесконечность, -2] объединению [7/3, бесконечность).
Уточнение с исключением десятичной дроби При 2x + 5 != 0 исключите x = -2,5 из любого набора решений. Объединение этого с 3x ^ 2 − x − 14 > = 0 приводит к разделению левого интервала на -2,5. Представьте результат как (−бесконечность, -2,5) объединение (-2,5, -2] объединение [7/3, бесконечность) и отметьте -2,5 как открытую точку на числовой прямой.
Отображение нескольких критических точек Если важны несколько точек (корни, полюса, особые исключения), отметьте каждую из них на числовой прямой и проследите, где начинаются, заканчиваются и прерываются интервалы. Игнорируйте интервалы, в которых отсутствуют пересечения между условиями, и сохраняйте только те части, которые удовлетворяют всем ограничениям. Четко представьте окончательный ответ в виде объединения интервалов с правильными открытыми или закрытыми конечными точками.
Квадратный корень из рационального выражения Для y = √[(x ^ 2 − 25)/(x − 1)] наложите (x ^ 2 − 25)/(x − 1) >= 0 и x != 1. Умножьте числитель на разность квадратов и примените интервальный метод к рациональному выражению.. Результирующий домен (−infinity, -5] union [5, infinity); 1 находится за пределами этого набора, поэтому никакого дополнительного удаления не требуется.
Надежная проверка подписей предотвращает ошибки Подставляйте конкретные значения (например, 0 или 6) в каждый интервал, чтобы проверить признак продукта или частного, а не полагаться исключительно на ожидаемый шаблон. Двойные положительные результаты не гарантируют получение отрицательного или положительного региона — прямая оценка устраняет неоднозначность. Конечные точки включаются или исключаются в соответствии с параметрами >= или >.
Уравнения Дают числа, неравенства - диапазоны Решение уравнений дает конкретные значения, в то время как решение неравенств определяет диапазоны значений. Ограничения области могут исключать изолированные точки или разделять диапазоны и должны применяться к решению неравенства. Запишите конечный результат, объединив диапазоны неравенства со всеми допустимыми значениями.
Правило двух случаев для получения квадратных корней и дробей Если квадратный корень указан без знаменателя, требуйте, чтобы радикал был >= 0; если он указан в знаменателе, требуйте, чтобы радикал был > 0. Всегда исключайте нули из знаменателей в выражении. Объедините все условия в числовой строке и используйте соответствующие квадратные скобки, чтобы передать всю область применения.