Квадратичні числа, коріння та домени: основні правила Квадратичні функції, рівняння та нерівності показують, як визначити допустимі вхідні дані, особливо з квадратними коренями та раціональними формами. Допустимі значення залежать від того, щоб радикали були невід'ємними, а знаменники відмінними від нуля. Множення або ділення нерівності на негативне значення змінює знак нерівності, а числовий рядок уточнює інтервали. Дискримінант (Δ = b ^ 2 − 4ac) і розкладання на множники визначають корені, які прив'язують межі інтервалу.
Нечастковий радикал: примусово > = 0 Для вираження типу √(3x − x ^ 2) потрібно 3x − x ^ 2 >= 0, оскільки квадратні корені повертають лише невід'ємні значення. Помножте x (3x) > = 0 і проаналізуйте знаки в числовому рядку. Допустимі значення x лежать між нулями, що дає область [0, 3].
Радикал у знаменнику: примусово > 0 Коли квадратний корінь з'являється в знаменнику, не використовуйте нуль, вимагаючи, щоб радикал був строго позитивним. Для 6X − 3x ^ 2 > 0 помножте на 3x(2-x) > 0 і вирішіть за допомогою інтервалів. Рішенням є (0, 2), що виключає кінцеві точки, щоб уникнути ділення на нуль; допускаються десяткові дроби всередині відкритого інтервалу, при цьому 1 є єдиним цілим числом.
Перевірка напрямку нерівності та числової лінії При діленні або множенні нерівності на -1 знак нерівності змінюється на протилежний; пам'ятайте про це при перестановці доданків. Позначте критичні точки на координатній лінії суцільними (включеними) або відкритими (виключеними) точками. Перевірте зручні значення в кожному інтервалі, щоб підтвердити знаки, а не припускати закономірності.
Раціональний вираз: виключити нулі в знаменнику, вирішити чисельник Для (6 − 5x − x ^ 2)/x ^ 2 спочатку застосуйте x != 0, потім розв'яжіть 6 − 5x − x ^ 2 > = 0 у чисельнику. Помножте на -1, щоб отримати x ^ 2 + 5x − 6 <= 0, обчислюємо коріння і використовуємо їх для прив'язки рішення. При коренях -6 і 1 і позитивному початковому коефіцієнті рішення дорівнює [-6, 1]; Видалення x = 0 призводить до об'єднання [-6, 0) (0, 1).
Ефективне використання дискримінанту Використовуйте Δ = b ^ 2 − 4ac для визначення коренів і кінцевих точок інтервалу; наприклад, Δ = 49 дає √Δ = 7. Не спрощуйте квадратні корені, такі як √ 134, якщо вони погано піддаються розкладанню. Спрощуйте, коли це можливо, наприклад,, √250 = √(25·10) = 5√10, щоб спростити наступні кроки.
Напрямні для орієнтації по параболі позначають області При позитивному передньому коефіцієнті парабола відкривається вгору і має негативне значення між своїми дійсними коренями для <= 0 введіть нерівності. Знайшовши коріння, помістіть їх у числовий рядок і позначте просте значення (наприклад, 0), щоб підтвердити ознаки області. Виберіть області, що відповідають символу нерівності, включаючи кінцеві точки, якщо це дозволено.
Встановіть членство та дужки Використовуйте "належить", щоб вказати, що x знаходиться в інтервалі, і" не належить", коли завдання задають виняток. Квадратні дужки [] позначають включення; круглі дужки ( ) позначають виняток. Висловлюючи винятки, опишіть доповнення, наприклад, x, що не входить до [0, 2], може бути записаний як (−нескінченність, 0) та (2, нескінченність).
Поєднання лінійного знаменника та квадратичного обмеження Якщо x + 3 != 0 і 6 − 5x − x ^ 2 > = 0, Перетворіть квадратичну величину в X ^ 2 + 5x − 6 <= 0 і вирішіть. Квадратичний результат - [-6, 1]; виключення x = -3 із знаменника призводить до видалення цієї єдиної точки. Кінцева область- [-6, -3) об'єднання (-3, 1).
Квадратична нерівність з a = 3 Розв'яжіть 3x ^ 2 − x-14 > = 0, використовуючи Δ = 169 і √ Δ = 13. Коріння x = -2 і x = 7/3; так, щоб парабола відкривалася вгору, виберіть зовнішні області. Набір рішень дорівнює (- нескінченність, -2] об'єднанню [7/3, нескінченність).
Уточнення з виключенням десяткового дробу При 2x + 5 != 0 виключіть x = -2,5 з будь-якого набору рішень. Поєднання цього з 3x ^ 2 − x-14 > = 0 призводить до поділу лівого інтервалу на -2,5. Уявіть результат як (- нескінченність, -2,5) об'єднання (-2,5, -2] об'єднання [7/3, нескінченність) і позначте -2,5 як відкриту точку на числовій прямій.
Відображення декількох критичних точок Якщо важливі кілька точок (коріння, полюси, спеціальні винятки), позначте кожну з них на числовій прямій і простежте, де починаються, закінчуються та перериваються інтервали. Ігноруйте інтервали, в яких відсутні перетини між умовами, і зберігайте тільки ті частини, які задовольняють всім обмеженням. Чітко уявіть остаточну відповідь у вигляді об'єднання інтервалів з правильними відкритими або закритими кінцевими точками.
Квадратний корінь з раціонального вираження Для y = √[(x ^ 2-25)/(x − 1)] накладіть(x ^ 2 − 25) / (x − 1) > = 0 і x != 1. Помножте чисельник на різницю квадратів і застосуйте інтервальний метод до раціонального виразу.. Отриманий домен (- infinity, -5] union [5, infinity); 1 знаходиться поза цим набором, тому додаткове видалення не потрібно.
Надійна перевірка підписів запобігає помилкам Замініть конкретні значення (наприклад, 0 або 6) на кожен інтервал, щоб перевірити ознаку товару чи частки, а не покладатися виключно на очікуваний шаблон. Подвійні позитивні результати не гарантують отримання негативного або позитивного регіону — пряма оцінка усуває неоднозначність. Кінцеві точки включаються або виключаються відповідно до параметрів >= або >.
Рівняння дають числа, нерівності-діапазони Рішення рівнянь дає конкретні значення, тоді як рішення нерівностей визначає діапазони значень. Обмеження області можуть виключати ізольовані точки або розділяти діапазони і повинні застосовуватися до вирішення нерівності. Запишіть кінцевий результат, поєднуючи діапазони нерівності з усіма допустимими значеннями.
Правило двох випадків для отримання квадратних коренів і дробів Якщо квадратний корінь вказаний без знаменника, вимагайте, щоб радикал був >= 0; якщо він вказаний у знаменнику, вимагайте, щоб радикал був > 0. Завжди виключайте нулі зі знаменників у виразі. Об'єднайте всі умови в числовому рядку та використовуйте відповідні квадратні дужки, щоб передати всю область.