Математическая проблема, связанная с музыкой, и как ее решить

Звук, частота и гармоники как строительные блоки музыки Звук - это колебания атмосферного давления; их частота, измеряемая в герцах, определяет воспринимаемую высоту звука. Музыкальные тона состоят из чистых синусоидальных волн, называемых гармониками, с целым числом, кратным основному f: f, 2f, 3f, 4f и т.д. Типичные музыкальные частоты варьируются примерно от 50 Гц до нескольких тысяч, причем более высокая частота воспринимается как более высокий тон.

Мелодия живет в соотношениях, а не в абсолютных частотах Две мелодии с разными абсолютными частотами звучат практически одинаково, если соотношение между их нотами совпадает. Транспозиция умножает каждую ноту на один и тот же коэффициент, чтобы соответствовать диапазону исполнителя, сохраняя при этом индивидуальность музыки. Интервалы - это частотные соотношения: октава равна 2:1 и соответствует октавному эквиваленту, в то время как квинта равна 3:2 и широко созвучна. Эта числовая связь между звуком и восприятием восходит к Пифагору.

Парадокс совершенных квинт и октав на конечных клавишных Инструменты с фиксированными тональностями должны выбирать определенный набор тональностей в пределах октавы, в отличие от инструментов с непрерывной тональностью. Повторение точных квинт (3:2) и складывание по октавам никогда не приводит к точному возвращению к начальной ноте, что подразумевает бесконечное количество различных тональностей. Предположение о возврате приводит к 3 ^ n = 2 ^ (n + k), что является противоречием между четными и нечетными числами. Следовательно, клавиатура, предлагающая точные квинты и октавы везде, потребовала бы бесконечного количества клавиш, а это практический кризис, который бросил вызов умам от Пифагора до Эйлера.

Пифагорейская настройка: Точные квинты, семь нот и ранние клавишные Эта система создает гамму из семи нот в пределах октавы, используя точные пропорции 3:2 квинты и 2: 1 октавы, достаточные для простых мелодий. Хотя это звучит приемлемо, транспонирование не выполняется, если отсутствуют требуемые ноты. Добавление дополнительных тонов улучшает покрытие, но никогда полностью не решает проблему транспонирования, отражая историческое распространение белых клавиш на черные на ранних клавиатурах.

Просто интонация: Более плавные Аккорды Благодаря гармоничному выравниванию Простая интонация сохраняет некоторые пифагоровы соотношения, но заменяет другие (например, мажорная терция 5/4 вместо 81/64), сдвигаясь примерно на 1,25%, которые могут услышать многие слушатели. Мажорные аккорды звучат более плавно, потому что гармоники совпадают — например, четвертая гармоника, равная 5/4, точно совпадает с пятой гармоникой корня, — что позволяет избежать шероховатостей, слышимых в пифагорейских терциях и сикстах. Важнейшее соотношение 4:5 повторяется по всей шкале, усиливая созвучие. Однако перестановка ухудшается, поскольку соседние ступени различаются (9/8 против 10/9), что нарушает даже тривиальные перестановки.

Средний тон (четверть-запятая): Равные шаги через среднее геометрическое, темперированные пятые Чтобы сохранить только 5/4 трети при выравнивании соседних ступеней, установите для каждой из них значение a, где 1· a·a = 5/4, что дает a = sqrt(5)/2 — среднее геометрическое значение, соответствующее мультипликативному расстоянию шага. Слегка умерьте квинту, чтобы две квинты минус октава были равны этому шагу: b ^ 2/2 = sqrt(5)/2, что дает b = 5 ^(1/4), отклонение от 3:2, которое едва слышно. Заполнение этой квинты сохраняет созвучия тональности 4:5, но приводит к неизбежному “волчьему” интервалу, который звучит сильно фальшиво. Добавление большего количества тональностей может переместить, но не устранить волка, и исторические настройки часто приближались к этим идеалам на практике.

Одинаковый темперамент: Двенадцать одинаковых шагов и плавная перестановка Поскольку двенадцать чистых квинт почти равны семи октавам, слегка уменьшите каждую квинту и разделите октаву на двенадцать равных долей r, где r ^ 12 = 2, таким образом, r = 2 ^(1/12). Квинта становится 2 ^ (7/12), что составляет примерно одну десятую процента от бемоля 3: 2, и ее почти невозможно услышать, в то время как полутон равен 2 ^ (1/12). Равные шаги обеспечивают безупречную транспозицию и смену тональностей, что расширяет возможности последующей композиции. К недостаткам относятся неравномерные интервалы - особенно большая терция с диезом около 0,8% — и потеря четких ключевых символов, которые ценятся в хорошо темперированных системах, таких как Хорошо темперированный клавир Баха. Просто проинтонированные композиции могут звучать исключительно гладко в своей родной тональности, но при транспонировании становятся невыносимыми, в то время как ровный темперамент неизменно остается слегка грубоватым.

За гранью равного темперамента: исторические, микротональные и справедливые пути Исторически обоснованное исполнение возрождает темпераменты, соответствующие музыке, вместо того, чтобы по умолчанию использовать 12-тональный одинаковый темперамент. В арабских, турецких и персидских традициях используются микротональные интервалы, часто равные 24 четвертям тона, хотя практика сильно различается. Другие равные деления — 19, 31, 41 и более — предлагают альтернативные компромиссы, подкрепленные различными математическими и музыкальными аргументами. Обновленное движение Just Intonation использует современные технологии для восстановления чистых целочисленных соотношений, устраняя при этом прежние практические ограничения.