Почему Тригонометрия сбивает с толку Многих студентов Несмотря на то, что тригонометрия была введена в 8-м классе, она продолжает вызывать проблемы даже в 9-11 классах. Пристальное внимание и четкий набор определений устраняют большую часть путаницы. План состоит в том, чтобы установить четкие значения функций и показать, как их использовать, чтобы все стало понятным.
Тригонометрия в виде соотношений в прямоугольных треугольниках Тригонометрия изучает, как длины сторон соотносятся с углами. Здесь основное внимание уделяется прямоугольным треугольникам, где эти соотношения чаще всего используются в школьной математике. Более широкие темы, такие как закон синусоидальности, оставлены в стороне, чтобы сохранить рамки.
Катеты и гипотенуза, четко обозначенные В треугольнике ABC с прямым углом в точке C стороны AC и CB образуют прямой угол и называются катетами. Сторона, противоположная прямому углу, AB, называется гипотенузой. Для определения каждой функции важно, чтобы эти названия соответствовали друг другу.
Синус = Противоположный отрезок гипотенузы. Синус угла A равен длине отрезка, противоположного A, деленной на гипотенузу. В треугольнике 3-4-5, где AB = 5, BC = 3 и AC = 4, sin A = BC/AB = 3/5. Преобразование 3/5 дает 0,6.
Косинус = Смежный отрезок гипотенузы. Косинус угла A равен отрезку, смежному с A, деленному на гипотенузу. В том же треугольнике 3-4-5 cos A = AC/AB = 4/5. Это равно 0,8 и естественным образом сочетается с синусом как противоположность / гипотенуза против смежной / гипотенуза - простая мнемоника.
Тангенс и Котангенс Сравнивают катеты Тангенс угла равен противоположному отрезку, деленному на соседний, без учета гипотенузы. Он также равен синусу, деленному на косинус того же угла, поскольку коэффициенты гипотенузы отменяются. Для треугольника 3-4-5 tan A = 3/4 = 0,75, а cot A = 4/3.
Допустимые диапазоны значений функций Значения синуса и косинуса находятся в диапазоне от -1 до 1. Это станет ясно на примере единичной окружности, которую мы рассмотрим позже. Значения, превышающие это значение, указывают на ошибку и должны быть пересчитаны. Тангенс и котангенс считаются находящимися в диапазоне от -3 до 3; числа, превышающие это значение, также указывают на ошибку.
Типичные задачи, с которыми Вы столкнетесь В задачах предлагается найти неизвестные стороны, используя определения функций в геометрии. В алгебре задачи включают вычисление тригонометрических выражений и решение тригонометрических уравнений. Такие проблемы возникают как на базовых, так и на профильных курсах, часто в профильном задании 13 ЕГЭ, а иногда и в первой части с помощью формул сокращения и фундаментального тождества.
Фундаментальное тригонометрическое тождество Для того же угла α, sin2a + cos2a = 1. Возведение в квадрат здесь означает просто возведение в квадрат числовых значений синуса и косинуса. Это тождество позволяет найти одну функцию, когда известна другая.
От sin 30° до cos 30° При sin 30° = 1/2 тождество дает sin2 30° = 1/4. Тогда cos2 30° = 1 − 1/4 = 3/4. Извлекая квадратный корень, получаем cos 30° = √3/2.
От sin и cos до tan 30° Тангенс - это отношение sin/cos, поэтому tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2). Деление упрощается до 1/√3. Рационализация знаменателя дает √3/3, эквивалентную, но более точную форму.
Синус в прямоугольном треугольнике по Пифагору В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 20 и одним отрезком 12 для нахождения sin B требуется противоположный отрезок. Согласно теореме Пифагора, неизвестный отрезок удовлетворяет AC2 = 202 − 122 = 256. Следовательно, AC = 16, а sin B = 16/20 = 4/5 = 0,8.
Пифагорейские Тройки могут помочь Легко узнаваемые тройки, такие как 3-4-5 и 12-16-20, могут ускорить работу. Они избавляют вас от необходимости каждый раз пересчитывать третью часть. Поскольку предусмотрена таблица квадратов, запоминание не требуется.
Практика и надежные ресурсы Из-за частой практики методы автоматически применяются во время экзаменов. Используйте официальный банк заданий FIPI и опубликованные материалы для ОГЭ. Избегайте использования сторонних генераторов, таких как Reshu EGE/OG, где многие задания являются случайными и не являются репрезентативными.
Основные знания для дальнейшего развития Ключевыми инструментами являются определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и фундаментального тождества. Применение соотношений, тождеств и системы Пифагора позволяет решать как алгебраические, так и геометрические задачи. Тщательное использование квадратов, знаков и упрощений предотвращает большинство ошибок.