Введение в математический анализ 15. Сравнение функций. Производная.

Локальное сравнение с помощью ненулевых знаменателей Функциональное сравнение является локальным: только значения в проколотой окрестности объекта. Если g(x) там не обращается в нуль, разделите на g(x) и изучите соотношение. Определите α(x) = f(x)/g(x) в этой окрестности; другие значения не имеют значения. Ограниченность или предел α кодирует сравнение.

Тесты соотношения на эквивалентность, Малую и большую величину f ~ g как x→a именно тогда, когда f(x)/g(x) → 1. f = o(g), если f(x)/g(x) → 0. f = O(g), если f(x)/g(x) остается ограниченным в проколотая окрестность a. Эти эквивалентные формулировки объединяют доказательства и оценки.

Построение мультипликативной погрешности и доказательство необходимости/достаточности Установите f(x) = α(x)·g(x) в проколотой окрестности и произвольно определите α снаружи. Границы являются локальными, поэтому значение имеет только эта окрестность. Если α→1, то f ~ g; если α→0, то f = o(g); если α ограничено, то f = O(g). И наоборот, принимая α = f/g, получаем те же выводы.

Асимптотика как язык алгоритмического сравнения Для больших входных данных сравнение алгоритмов означает принятие решения о том, чем можно пренебречь. Сложные выражения с факториалами или биномами сводятся к доминирующим элементам с помощью асимптотики. Этот язык раскрывает то, что действительно управляет ростом. Часто такая перспектива более ценна, чем установление определенного предела.

Рефлексивность, симметрия и транзитивность ~ Каждая функция эквивалентна самой себе в базовой точке. Если f ~ g, то g ~ f. Если f ~ g и g ~ h, то f ~ h. Таким образом, асимптотическая эквивалентность - это отношение эквивалентности.

Рост мощности близок к нулю: Более высокие показатели исчезают быстрее Поскольку x→0, x ^ n = o(x^ m) именно тогда, когда n > m. Тогда x ^(n−m) → 0 подтверждает связь. Когда n ≤ m, вывод не выполняется. Сравнение экспоненты определяет, какая степень доминирует.

Никогда не пропускайте, Куда стремится x Для асимптотических символов требуется базовая точка a или ±∞. Одни и те же функции могут по-разному относиться к разным базовым точкам. Пропуск базовой точки приводит к неоднозначным или ложным утверждениям. Всегда указывайте, куда стремится x.

Обеспечение разделения с помощью ненулевого значения и монотонности Монотонная функция может содержать не более одного нуля в окрестности с пробоинами, что обеспечивает безопасное деление. Вблизи 0 sin x ≠ 0, за исключением 0, так что x/sin x → 1 по первому значимому пределу. Следовательно, частное является ограниченным, что подтверждает проверку большого числа с помощью деления. Ненулевое значение гарантирует, что соотношение точно определено.

Те же испытания на лучах, направленных в бесконечность На лучах, направленных к +∞, логика с пробитыми окрестностями сохраняется. Если знаменатель не равен нулю, то в пределах коэффициента вычисляются отношения O /o, как и раньше. Отношение с конечным пределом ограничено, что подтверждает большое значение O. Локальные рассуждения легко адаптируются к ±∞.

Заметные ограничения Приводят к фундаментальным эквивалентностям Поскольку x→0, sin x ~ x, e ^ x − 1 ~ x и ln(1 + x) ~ x. Считайте тождества с o включениями: f = g + o(g) означает, что f соответствует некоторому элементу o(g). Такие соотношения следует интерпретировать слева направо. Они обеспечивают надежную замену в вычислениях.

Исчисление классов o и O o(f) + o(f) остается o(f), а o(f) − o(f), как правило, по-прежнему равно o(f), а не нулю. Аналогичное замыкание выполняется для O с тем же критерием. Кроме того, o(f) ⊂ O(f). Эти правила управляют алгеброй с помощью асимптотических классов.

Шаблон доказательства: Ограниченный × Исчезающий ⇒ Исчезающий Представим функцию в O(v) как v, умноженное на ограниченный множитель. Представим v в o(f) как f, умноженное на нулевой множитель. Их произведение равно f, умноженное на нулевой множитель, следовательно, лежит в o(f). Этот шаблон равномерно отображает типичные включения o/O.

Характеристики и стабильность эквивалентности f ~ g, если f = g + o(g). Если f1 ~ f2 и g1 ~ g2, то f1· g1 ~ f2· g2, при условии, что один множитель (например, g1) не обращается в нуль в проколотой окрестности. При том же ненулевом значении 1/g1 ~ 1/g2. Эти свойства стабильности оправдывают замену коэффициентов эквивалентными.

Эквивалентные функции разделяют существование и значение пределов Если f ~ g и существует одно из значений lim f или lim g (конечное или бесконечное), то существует и другое значение, равное ему. Поскольку f/g → 1, частное остается около 1, где допустимо деление. Ограничивает перенос между эквивалентами без изменения значения. Это справедливо как для конечных, так и для бесконечных пределов.

Вычисление предела путем замены деталей эквивалентными Замените sin x на x и используйте e ^ x − 1 ~ x и аналогичные факты для нейтрализации аннулирования. После упрощения отмените общие множители в проколотой окрестности. Вычислите предел приведенного выражения. Исходный предел соответствует ему по леммам эквивалентности.

Ловушка, связанная с вычитанием почти равных величин Из sin x ~ x нельзя вывести решающий предел для (sin x − x) /x. Остаток равен только o(x), что приводит к неопределенной форме: предел может быть ∞, 0 или конечным. Требуется дополнительная информация о порядке следования остатка. Разложения Тейлора дают необходимые члены более высокого порядка.

Определение y = kx + b как асимптоты Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой при +∞, если lim f(x)/x = k и lim (f(x) − kx) = b. Если f = kx + b + o(1), то деление на x дает первый предел, и разница стремится к b. И наоборот, эти пределы подразумевают f = kx + b + o(1). Геометрически расстояние от графика до прямой обращается в нуль при x→+∞.

Вертикальные асимптоты и переход к производным x = a является вертикальной асимптотой, если хотя бы один односторонний предел в точке a равен ±∞. При заданных асимптотах внимание переключается на дифференциальное исчисление: хорошо управляемые функции выглядят локально аффинными. Производная является пределом разностного отношения; у аффинных функций производная равна их наклону, в то время как у знаковой функции производная отсутствует при 0. Геометрически касательная - это предельное положение секущих, наклон которых равен производной.