Сочетая сходные термины, включая "Радикалы" и "Силы" Подобные термины имеют одинаковые переменные части (включая показатели степени или радикалы), поэтому их коэффициенты складываются: 5x + 4x = 9x. В смешанных выражениях объединяйте x-члены с x-членами, а y-члены с y-членами, например, 3x + 5x = 8x и 4y + 8y = 12y. Та же идея применима к радикалам и степеням: 3√2 + 8√2 = 11√2 и 4x ^ 2 + 9x ^ 2 = 13x ^ 2. Термины с разными переменными частями, такие как 5x и 8y, не сочетаются.
Сложение и вычитание многочленов со знаковыми членами При объединении многочленов выстраивайте их в ряд, как члены, и добавляйте коэффициенты, соблюдая знаки: 9x ^ 2 + 3x ^ 2 = 12x ^ 2, 6x + (-5x) = x, 5 + (-9) = -4. Распределите начальное отрицательное значение перед объединением: −(8x ^ 2 − 5x + 7) становится −8x ^ 2 + 5x − 7. Затем соберите похожие числа, чтобы закончить, например, 3x ^ 2 + 7x − 4 − 8x ^ 2 + 5x − 7 = −5x ^ 2 + 12x − 11. Так устроены сложение и вычитание многочленов.
Одночлены, биномы, трехчлены и полиномы Мономиал состоит из одного члена, такого как 8x, 5x ^ 2 или 3x ^ 2y. Биномиальное число состоит из двух членов, например, 5x + 6 или 7x − 3, а трехчленное число состоит из трех членов, например, x ^ 2 + 6x + 5. Многочлен - это любое выражение с одним или несколькими членами, организованное путем объединения сходных членов или выполнения таких операций, как сложение, вычитание и умножение.
Распределение одночленов и добавление показателей Умножьте одночленное число на многочлен, распределив и используя x ^ a · x ^ b = x ^ {a + b}: 7x · x ^ 2 = 7x ^ 3, 7x · 2x = 14x ^ 2, 7x·(-3) = −21x. Примените тот же процесс к высшим силам: 5x ^ 2· 3x ^ 4 = 15x ^ 6 и 5x ^ 2·(−6x ^ 3) = −30x ^5. Продолжайте слагаемое за слагаемым, например, 5x ^ 2·5x = 25x ^ 3 и 5x ^ 2·(-8) = −40x ^2, затем суммируйте результаты. Сложение экспоненты отражает подсчет повторяющихся множителей x при умножении.
ФОЛЬГА и возведение в квадрат бинома Умножьте два бинома с помощью ФОЛЬГИ: (3x − 4) (2x + 7) = 6x ^ 2 + 21x − 8x − 28 = 6x ^ 2 + 13x − 28. Другой пример: (2x − 5)(4x + 7) = 8x ^ 2 + 14x − 20x − 35 = 8x ^ 2 − 6x − 35. Возведение бинома в квадрат происходит аналогичным образом: (2x − 3) ^ 2 = (2x − 3) (2x − 3) = 4x ^ 2 − 12x + 9. Всегда объединяйте одинаковые члены после разложения.
Биномиально–трехчленные продукты и условия сбора При умножении двучленного числа на трехчленное следует ожидать объединения шести слагаемых. Распределите каждый член бинома по трем числам: 5x · (2x ^ 2 − 3x + 4) дает 10x ^ 3 − 15x ^ 2 + 20x, а -9· (2x ^ 2 − 3x + 4) дает −18x ^ 2 + 27x − 36. Объедините похожие термины, чтобы получить результат: 10x ^ 3 − 33x ^ 2 + 47x − 36. Упорядочивайте по убыванию, чтобы четко видеть структуру.
Правила экспоненты и почему они работают Умножьте одинаковые основания, добавив показатели: x ^ 3 · x ^ 4 = x ^ 7, потому что учитываются повторяющиеся множители. Разделите одинаковые основания, вычитая показатели: x ^ 9/x ^ 4 = x ^ 5, что отражает отмену общих множителей. Возводим степень в степень путем умножения показателей: (x ^ 7)^6 = x ^{42}, поскольку повторяющиеся группы умножают количество множителей. Отрицательные показатели указывают на обратные значения: x ^ {-3} = 1/x ^ 3, и перемещение множителя по линейке дробей меняет знак его показателя.
Степени произведений, нулевой показатель степени и соотношение суммы и произведения Возведение произведения в степень умножает показатели на каждый множитель: (3x^3)^2 = 3^2·x ^ 6 = 9x ^ 6. Не путайте 5x ^ 2 с (5 + x) ^ 2; первое равно 5 · x ^ 2, в то время как второе расширяется до 25 + 10x + x ^ 2 с помощью ФОЛЬГИ. Распределите показатели по каждому множителю в (4x ^ 2y ^ 3) ^ 3, чтобы получить 64x ^ 6y ^9. Любое ненулевое выражение в нулевой степени равно 1, а внешний коэффициент, подобный -2, остается таким: -2·(5xy^3)^0 = -2.
Упрощение продуктов и частных величин с помощью переменных и коэффициентов Умножайте, комбинируя одинаковые основания и коэффициенты; делите, уменьшая коэффициенты и вычитая показатели по частям. Преобразуйте отрицательные показатели в положительные, перемещая коэффициенты по линейке дробей; предпочитайте окончательные ответы с положительными показателями. Отмените числовые коэффициенты заранее, используя обычные делители, чтобы избежать больших чисел, например, уменьшите 32/40 до 4/5 перед обработкой показателей x, y, z. Подходите к долгосрочным продуктам, используя коэффициенты (например,, 35 = 5·7, 40 = 8·5) и отменяя общие коэффициенты перед повторным объединением.
Сложные дроби и простые знаменатели Для a/b ÷ c/ d сохраните-измените-переверните, чтобы умножить на обратное значение, затем отмените общие множители, например, (3x/5) ÷ (7xy/9) упростится до 27/(35y). Если сложная дробь содержит меньшие дроби в числителе и знаменателе, умножьте верхнюю и нижнюю части на общий знаменатель, чтобы очистить их. Например, умножение (7 + 2 /x)/(5 − 3/y) на xy /xyy приводит к увеличению y (7x + 2) на x(5y − 3) после отмены. Используйте эту тактику перед расширением, чтобы арифметика оставалась управляемой.
Решение линейных уравнений методом изоляции Выделите x, отменив операции в обратном порядке: x + 4 = 9 приводит к x = 5; 3x + 5 = 11 приводит к x = 2. Используйте распределение или деление, чтобы удалить группировку: из 2(x − 1) + 6 = 10 вычтите 6, разделите на 2, затем добавьте 1, чтобы получить x = 3. Когда у обеих сторон есть переменные, распределите, объедините подобные члены и переместите все x-члены в одну сторону, а константы - в другую, что даст результаты, подобные x = -12/5. Разберите дроби, умножив их на общий знаменатель, или разберите десятичные дроби, умножив на степени 10, а затем решите стандартными шагами. Используя такие пропорции, как (x + 2)/5 = 7/8, выполните перекрестное умножение, чтобы получить линейное уравнение, и решите его.
Квадратичные вычисления с помощью квадратных корней и разности квадратов Переместите константы и извлеките квадратные корни, если форма x ^ 2 = k: x ^ 2 − 25 = 0 дает x = ± 5. Умножьте разности квадратов: 2x ^ 2 − 18 = 2(x ^ 2 − 9) = 2(x − 3)(x + 3), что дает x = ± 3; аналогично, 3x ^ 2 − 48 = 3(x − 4)(x + 4). Для x ^ 4 − 81 умножьте дважды: (x ^ 2 − 9) (x ^ 2 + 9) = (x − 3)(x + 3)(x ^ 2 + 9), так что реальные решения равны x = ± 3. Множитель x ^ 2 + 9 не имеет действительных корней; его решения являются мнимыми, ±3i.
Разложение на множители трехчленных чисел, группировка и квадратичная формула Для ax ^ 2 + bx + c с a = 1 найдите числа, которые умножаются на c и прибавляются к b, например, x ^ 2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Для a ≠ 1 используйте метод переменного тока: умножьте 2x ^ 2 + 3x − 2, найдя 4 и -1, перепишите 3x как 4x − x, затем умножьте, сгруппировав в (x + 2)(2x − 1). Умножение на группировку также работает для четырехчленных многочленов с общим биномом, как в случае x ^ 3 - 4x ^ 2 − x + 4 = (x − 4) (x + 1) (x − 1). Если разложение на множители затруднено, примените квадратичную формулу x = [−b ± √(b ^ 2 − 4ac)]/(2a), как показано для 2x ^ 2 + 3x − 2 и 6x ^ 2 + 7x − 3, которые дают рациональные корни.
Построение графиков линий и написание линейных уравнений В форме пересечения наклона y = mx + b постройте линию пересечения y и используйте наклон m в качестве подъема /спуска, чтобы найти дополнительные точки, например, y = 2x − 1 или y = (3/4)x − 2. В стандартной форме ax + by = c найдите перехваты, установив другую переменную равной нулю, например, x-перехват 3 и y-перехват -2 для 2x − 3y = 6. Чтобы записать линию из наклона и точки, используйте форму точки-наклона y − y1 = m(x − x1), затем измените ее на форму пересечения наклона или стандартную форму. Найдите уклоны от двух точек, используя (y2 − y1) /(x2 − x1), и используйте прямые параллельные уклоны или перпендикулярные наклоны с помощью обратных отрицательных величин для построения уравнений.