ЭЙЛЕР. Грандиозное математическое наследие

Леонард Эйлер, которого часто неправильно называют Леонард или Ойлер, известен своим глубоким вкладом в математику. Несмотря на то, что он известен благодаря таким формулам, как соотношение многогранников и аналитические тождества, некоторые работы были сделаны еще до него — Декарт вывел аналогичное равенство на 100 лет раньше. Несмотря на это, гениальность Эйлера остается бесспорной благодаря его новаторским методам доказательства таких теорий, как теорема о коллинеарных точках, и всестороннему исследованию принципов экстремума. Его путь от российского императорского двора до того, как он стал знаменитым математиком, рассказывает о интуитивных прозрениях, которые впоследствии были подкреплены строгостью.

Леонард Эйлер, родившийся в Базеле, Швейцария, в семье пастора, на протяжении всей своей жизни сохранял протестантские традиции. Несмотря на то, что он не был русским по происхождению, он внес значительный вклад в математику, проработав 14 лет в Санкт-Петербурге, а затем вернувшись еще на 17 лет, проведя 25 лет в Берлине. Там он опубликовал сотни исследований и книг, основал математическую школу, решал практические задачи и сыграл важную роль в создании Российской академии наук. В его личной жизни было много потрясений, связанных с историческими вызовами, которые отражали трудности той эпохи.

На заре науки математика отставала от практических приложений, таких как навигация. Молодой Леонард Эйлер участвовал в конкурсе Парижской академии по оптимальному размещению мачт на кораблях, хотя никогда не видел настоящего фрегата; хотя он и не победил, его работа была опубликована. Несмотря на неудачи, такие как неспособность получить место в университете из-за возраста или случайности, это привело его к тому, что он стал заниматься чистой математикой в Санкт-Петербургской академии наук, основанной Петром I. В 1735 году он решил знаменитую задачу о суммировании обратных квадратов — прорыв, приведший к дальнейшим исследованиям, — а позже, в 1736 году, занялся проблемами Кенигсбергского моста, непреднамеренно основав теорию графов.

Практические задачи часто варьируются от незначительных, таких как прогнозирование погоды или проектирование иллюминации, до серьезных, таких как предсказание астрономических событий или создание карт. Нанесение сферы на плоскость является особенно сложной задачей, примером которой является создание первого российского атласа в 1745 году, одним из авторов которого был Эйлер. Однажды, когда Эйлеру было поручено выполнить срочный правительственный проект, рассчитанный на три месяца, он вызвался выполнить его всего за три дня — и добился успеха. Однако эти напряженные усилия привели к сильному переутомлению, вызвавшему воспаление мозга, из-за которого он в молодости надолго ослеп на правый глаз.

Военно-морской флот сыграл ключевую роль в развитии науки, в частности, благодаря вкладу Эйлера. Точное определение координат корабля давало значительные преимущества, подчеркивая ограниченность научных знаний того времени. Задача была связана с решением задачи о трех телах - задачи, с которой боролся даже Ньютон. Хотя Эйлер не дал исчерпывающего решения, его работа ознаменовала существенный прогресс.

Леонард Эйлер разработал численные методы, которые вдохновили его преемников на создание основных таблиц. В качестве необычного отступления от государственных обязанностей он участвовал в составлении гороскопа для новорожденного Ивана Антоновича по просьбе императрицы Елизаветы. Астрологи, в том числе и сам Эйлер, согласно традиции, тщательно готовили предсказания, которые в конечном итоге напугали даже их самих.

Произношение имени Эйлер варьируется, в частности, в современном немецком языке используется слово "Ойлер", хотя исторические диалекты Базеля отличались друг от друга. При жизни его, вероятно, в некоторых текстах звали Леонгард или даже Леонгардокий. Эйлер внес значительный вклад в математическое образование, написав учебники по элементарной арифметике для гимназий и по таким сложным темам, как бесконечный анализ и интегральное исчисление.

Леонард Эйлер заложил основы вариационного исчисления и даже дал название этой математической области. Он подчеркивал необходимость экстремума с теологической точки зрения, утверждая, что "структура всего мира совершенна и создана мудрым Творцом". Это отражает его веру в божественное совершенство, влияющее на законы природы.

Эйлер разработал формулу для многогранников, которая оказалась универсально применимой в различных областях. Его работа заложила основы теории графов и топологии. Теорема Эйлера связывает количество вершин, ребер и граней в выпуклых многогранниках, но изначально ей не хватало доказательств; он проверил ее на пирамидах, призмах, правильных телах и композитах, прежде чем обобщить ее со строгими доказательствами. Несмотря на первоначальные ошибки, связанные только с конкретными случаями в качестве подтверждения, его окончательное доказательство подтвердило свою правомерность для всех выпуклых форм.

Базельская задача была разработана еще до Эйлера, а ее обобщение появилось позже. Основы топологии были заложены в ту эпоху, параллельно с историей решения базельской задачи. Как и у Эйлера, решения основывались на разложении синуса на бесконечное произведение — метод, который в то время не был доказан. Иоганн и Даниэль Бернулли указали на ошибки в его подходе, которые он признал, прежде чем тщательно вычислить сумму взаимных квадратов.

Судьба Леонарда Эйлера тесно переплелась с известной базельской семьей Бернулли. Несмотря на то, что отец в детстве убеждал его изучать философию, теологию и языки, Эйлера привлекала математика — страсть, которую признал Иоганн Бернулли, начавший еженедельно обучать его сложным темам. Десятилетия спустя они поменялись ролями, когда Иоганн обратился к Эйлеру за информацией о новых работах и сложных логарифмах отрицательных чисел. Знаменитая последовательность Бернулли неожиданно всплыла в задачах, которыми Эйлер занимался в то время.

Леонарда Эйлера помнят как жизнерадостного, чуткого и отзывчивого человека. Несмотря на свои общительные черты, он предпочитал уединенную работу над математикой общественным взаимодействиям или придворной жизни. Даже во время театральных представлений он был поглощен вычислениями — эта черта характера, которую с юмором отметил король Пруссии Фридрих II, пригласивший его в Берлинскую академию. Известный своей скромностью и простотой, Эйлер, несмотря на то, что в то время был самым известным математиком Европы, производил впечатление скорее скромностью, чем высокомерием. Его отличала страсть к сосредоточенной преданности своей специальности; однако было одно исключение, которое доставляло ему огромное удовольствие, - кукольный театр.

Во время своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесные связи с Россией, посылая многочисленные работы для публикации. Несмотря на небольшой конфликт с Ломоносовым из-за бестактности, он оставался влиятельным специалистом в различных областях, помимо математики, таких как медицина, география, механика, философия, языки, астрономия и другие. Его поместье было разрушено во время Семилетней войны, но позже фельдмаршал Салтыков, узнав о его принадлежности, возместил ущерб; императрица Елизавета даже добавила к этой компенсации значительную сумму. Известный своей феноменальной памятью и способностями к вычислениям — он выучил "Энеиду" наизусть — он решал разнообразные задачи, в том числе, казалось бы, тривиальные, такие как головоломка "Путешествие рыцаря".

Леонард Эйлер, несмотря на свой значительный вклад, такой как "Дифференциальное исчисление" и трактат о движении Луны, нашел ограниченную аудиторию читателей для своих работ. Из 500 экземпляров "Дифференциального исчисления" было распространено только 100; аналогичным образом, только 12 подписчиков проявили интерес к его работе по динамике твердого тела. Однако широкую популярность ему принесли "Письма к принцессе" - доступное научное изложение, охватывающее физику, астрономию и философию. Первоначально оно было написано как вдумчивое руководство для отдельного адресата, но предназначалось для всех читателей в восемнадцатом веке, когда была распространена эпистолярная литература.

Леонард Эйлер сосредоточился на расширенной геометрии, исследуя кривые второго и третьего порядков, поверхности, сферическую геометрию и аналитические методы, а не классическую плоскую геометрию. Он открыл один из самых элегантных фактов в плоской геометрии, вычислив координаты точек. В его работе были введены такие понятия, как аффинные преобразования, — появился этот термин, — и он стал автором того, что можно считать первым учебником по аналитической геометрии.

Теория чисел развилась в дифференциальную геометрию, где Эйлер сыграл ключевую роль. Он исследовал гипотезу Гольдбаха о выражении чисел в виде суммы простых чисел и задачи Ферма, опровергнув гипотезу французского математика о некоторых числах, подобных простым. Распознав специфические схемы делителей, он упростил сложные доказательства, не полагаясь исключительно на вычислительные навыки. Эйлер не только доказал маленькую теорему Ферма, но и обобщил ее, связав функции, порождающие разбиение, с бесконечными произведениями.

Концепция Эйлера, известная своей элегантностью и гармонией, связывает круговые и логарифмические функции. Роджер Котес впервые заметил эту связь, работая над эллипсоидами вращения, и отметил замечательную симметрию формулы. Иоганн Бернулли пришел к аналогичному результату путем интегрирования, но не завершил его, как это сделал Эйлер, введя воображаемую подстановку для получения эквивалентной формулы дуги. Это положило конец спорам о натуральном логарифме от отрицательной единицы и закрепило в его работах то, что сейчас общепризнано как формула Эйлера. В наше время Ричард Фейнман назвал это уравнение самым красивым в математике.

В своих более поздних работах Эйлер ввел современные обозначения для мнимой единицы, числа пи, е, значений функций в точках и многого другого. Число "е" часто называют числом Эйлера. Кроме того, постоянная гамма (теперь обозначаемая как γ) представляет собой разницу между гармоническим рядом и натуральным логарифмом в предельном случае. Его работа над сложными экспоненциальными функциями иллюстрирует, как он систематизировал ранее полученные результаты, добавив при этом значительные новшества.

Леонард Эйлер добился новаторских успехов в математическом анализе, в частности, с помощью бесконечных рядов и дзета-функции, которая тесно связана с проблемой тысячелетия. Он определил симметрии в ней и вычислил конкретные значения. Его работа распространялась на обобщение биномиальных коэффициентов и факториалов с помощью бета- и гамма-функций. Обладая замечательной дальновидностью, он установил соотношения, лежащие в основе современной теории чисел и математической физики. Поразительная универсальность в области алгебры, топологии, геометрии — его идеи о таких функциях, как дилогарифмы, остаются чрезвычайно важными и спустя столетия.

В 1766 году у Эйлера развилась катаракта на левом глазу, которая привела к полной слепоте. С помощью немецкого офтальмолога барона Венцеля, привезенного Екатериной II в Санкт—Петербург, он ненадолго восстановил зрение после операции — редкое чудо для XVIII века, - но потерял его навсегда из-за преждевременного снятия повязок. Невзирая ни на эту неудачу, ни на другие трудности, такие как семейные потери и даже пожар, уничтоживший его дом, но пощадивший рукописи, Эйлер замечательно адаптировался; он диктовал математические работы, в то время как ассистенты переписывали их с классных досок на бумагу. Его продуктивность не уменьшилась, поскольку в течение этих лет он продолжал вносить значительный вклад.

Леонард Эйлер известен как великий математик не только за свой огромный вклад, но и за свой подход к преподаванию и открытиям. Он предпочитал ясность изумлению, щедро делясь процессами, лежащими в основе его открытий, а не просто представляя сухие доказательства. Несмотря на случайные ошибки, он признавал их и усердно работал над их исправлением, демонстрируя аналитический склад ума, сравнимый с современными вычислительными методами. Его плодотворный труд, насчитывающий почти 100 томов, остается непревзойденным; однако именно его скромность — предоставление пространства для идей другим — и новаторский подход к решению проблем укрепили его как центральную фигуру в мировой математике в его эпоху.

Неустанная деятельность Леонарда Эйлера на протяжении всей его жизни оставила огромное наследие в математике. Его работы содержат огромное количество концепций и открытий, которые будущие поколения могут изучать и использовать в дальнейшем.