Линейность и нулевой вектор Линейный оператор в вещественном векторном пространстве - это отображение из V в V, которое сохраняет сложение векторов и скалярное умножение. Исходя из линейности, f(λa) = λf(a) для любого скалярного λ. Следовательно, f(0) = 0, поэтому нулевой вектор обязательно соответствует нулевому вектору.
Изображение оператора Некоторые операторы работают не со всеми векторами в V; например, при проекции на линию получаются только векторы, параллельные этой линии. Изображение представляет собой набор всех векторов вида f(a) с a в V. Оно собирает именно те выходные данные, которые могут быть получены с помощью оператора.
Ядро оператора За пределами нулевого вектора другие векторы могут отображаться в ноль; при проекции на линию векторы, перпендикулярные этой линии, сворачиваются в ноль. Ядро - это набор всех векторов a, таких, что f(a) = 0. Эти векторы образуют прообраз нуля.
Образ и ядро как подпространства Если u = f(a) и v = f(b), то u + v = f(a + b) и au = f(aa), таким образом, изображение замкнуто при сложении и скалярном умножении. Если f(a) = 0 и f(b) = 0, то f(a + b) = 0 и f(aa) = 0, то есть ядро закрывается при выполнении одних и тех же операций. Следовательно, и изображение, и ядро являются линейными подпространствами V.
Состав матрицы и дефект В базисе B координаты f(x) равны матрице оператора, умноженной на координаты x. Ядро равно пространству решений однородной системы Ax = 0. Базис этого пространства решений (фундаментальная система решений) образует базис ядра. Размерность ядра называется дефектом (nullity).
Столбцы охватывают изображение, а ранг–Нулевой Поскольку f(ei) - это столбцы матрицы, изображение представляет собой линейный диапазон этих столбцов, а его размерность равна рангу. Для матрицы [1 2 -1; 3 2 0; 4 4 -1], Исключение по Гауссу дает ранг 2. Однородная система имеет одну свободную переменную, которая дает базисный вектор ядра (-2, 3, 4). Основой для изображения могут быть любые два независимых столбца, например (1, 3, 4) и (2, 2, 4). Ранговое значение равно нулю: dim (ядро) + dim(изображение) равно размерности пространства; оператор является вырожденным, когда изображение имеет меньшую размерность, и невырожденным, когда изображение заполнено, а ядро равно {0}.