Как изобретают/открывают математику? [3Blue1Brown]

Бесконечное деление суммы пополам до единицы Кажущееся абсурдным утверждение о том, что 1 + 2 + 4 + 8 + ... равно -1, мотивирует более простой тестовый пример: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... равно 1. Представьте себе точку, движущуюся от 0 к 1, с каждым шагом уменьшая оставшееся расстояние вдвое; позиции 1/2, 1/2+1/4, 1/2+1/4+1/8, ... являются конечными суммами отрицательных степеней двойки. Эти значения максимально приближаются к 1, показывая, как бесконечный процесс может привести к определенному результату.

Что на самом деле означает Бесконечная сумма На самом деле не вычисляется ничего бесконечного — только конечные частичные суммы из списка, который может продолжаться бесконечно. Бесконечная сумма равна числу X, когда последовательность частичных сумм становится сколь угодно близкой к X: для любого выбранного расстояния последующие суммы находятся в пределах этого числа. Это определение превращает приближение к числу в равенство для бесконечных сумм.

Почему 0,999... Равно 1 Разделите интервал на 9 и 1, затем всегда делите последнюю часть в одинаковом соотношении, чтобы получить 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... = 1, записывается как 0,9, повторение равно 1. Обобщая, разделите интервал на P и 1 − P и продолжайте делить крайний правый сегмент аналогичным образом: (1 − P) + P(1 − P) + P ^ 2(1 − P) + ... = 1. При делении на 1 − P получается 1 + P + P^2 + ... = 1/(1 − P) для 0 < P < 1.

Алгебра Указывает на прошлую конвергенцию Хотя правая формула получена для P в диапазоне от 0 до 1, она имеет алгебраический смысл практически для любого P, кроме 1. Подставляя P = -1, получаем 1 − 1 + 1 − 1 + ... = 1/2,, а P = 2 - 1 + 2 + 4 + 8 + ... = -1. При строгой сходимости эти ряды ведут себя неправильно, но игнорирование их не позволяет выявить более глубокую закономерность. Решение заключается в переосмыслении того, как измеряется расстояние между рациональными числами.

2-адическое расстояние Приводит к тому, что степени двойки сходятся к -1 Определяйте расстояние с помощью вложенных групп и подгрупп, а не позиций на прямой: два числа ближе, когда их последняя общая группа меньше, создавая промежутки 1, 1/2, 1/4, ..., привязанные к степеням двойки. Это инвариантное к трансляции определение дает законную метрику - 2—адическое расстояние - одну из p—адических метрик, занимающих центральное место в современной теории чисел. В этом смысле, 1, 3, 7, 15, 31, ...— каждое из них меньше степени двукратного приближения -1, а добавление 1 показывает степень двукратного приближения 0. Следовательно,, 1 + 2 + 4 + 8 + ... = -1 непротиворечиво.

От парадокса к прозрению Природа сначала преподносит что—то непонятное — даже абсурдное - заставляя формулировать новые концепции, которые делают все понятным. Эти структуры позволяют проводить полезные вычисления и расширять привычные горизонты. Повторяющийся цикл — открытие закономерностей, изобретение концепций, затем новые открытия — движет математику вперед.