введение
00:00:00Использование тригонометрии в реальном анализе Цикл занятий по математическому анализу продолжается изучением тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса и их обратных величин. Цель состоит в том, чтобы включить эти функции в анализ, чтобы в дальнейшем можно было работать с производными, интегралами и графиками. Экспозиция сосредоточена на том, что необходимо сейчас для продвижения вперед.
Два стандартных фундамента, оба несовершенные Один путь предполагает школьное определение единичной окружности, опираясь на геометрию, которую курс не формализовал. Другой определяет синус и косинус как суммы сходящихся степенных рядов после изучения функциональных и степенных рядов. Первое на данном этапе носит неформальный характер; из-за второго такие ключевые свойства, как периодичность и диапазон [-1, 1], трудно обосновать на ранней стадии. Приветствуется более эффективный подход на ранней стадии и требуется снисхождение.
Переходим к определениям школьного уровня Синус и косинус берутся из единичной окружности с учетом их основных свойств: 2π-периодичности, формулы суммы и разности, а также фундаментального тригонометрического тождества. Повторный школьный материал пропущен для экономии времени. В рамках текущего курса анализа это признано недостаточно строгим, но оно позволяет продвигаться вперед.
Ограничивающий синус своим аргументом Для x в [0, π/2] перпендикуляр длины sin x короче хорды, в то время как длина дуги x превышает хорду, поэтому sin x ≤ x. Для x в [−π/2, 0] нечетность синуса и абсолютных значений дает одинаковую оценку. При x = 0 неравенство тривиально. Для |x| ≥ π/2, поскольку |sin x| ≤ 1 и |x| ≥ π/2 > 1, граница выполняется a fortiori. Следовательно, |sin x| ≤ |x| для всех действительных x.
Непрерывность синуса с помощью точной оценки Используя sin x − sin x0 = 2 sin((x−x0)/2) cos((x+x0)/2) и границы |cos| ≤ 1 и |sin t| ≤ |t|, мы получаем |sin x − sin x0| ≤ |x − x0|. При x → x0 правая часть стремится к нулю. Следовательно, sin x непрерывен в каждой точке. Аргумент основан только на основных тригонометрических тождествах и установленном неравенстве.
Косинус как непрерывная композиция Косинус может быть обработан аналогично или распознан как cos x = sin(x + π/2). Совокупность непрерывных функций является непрерывной. Следовательно, косинус непрерывен на всей вещественной прямой.
Касательная и Котангенс непрерывны в своих областях Тангенс - это sin x, деленный на cos x, а котангенс - это cos x, деленный на sin x. Частное непрерывных функций является непрерывным там, где знаменатель отличен от нуля. Следовательно, tan x и cot x непрерывны именно на тех множествах, где они определены.
Монотонный синус на [−π/2, π/2] и дуговой синус На [−π/2, π/2] синус строго возрастает. С x1 < x2, cos((x1 + x2)/2) > 0 и sin((x1 − x2)/2) < 0, таким образом, sin x1 − sin x2 < 0. Таким образом, ограничение биективно на [-1, 1]. Его обратная функция, arcsin: [-1, 1] → [−π/2, π/2], является непрерывной и возрастающей. Это следует из общего принципа, согласно которому непрерывные монотонные функции имеют непрерывные монотонные обратные значения в своих диапазонах.
Убывающий косинус на [0, π] и арккосинус На [0, π] косинус непрерывен и строго убывает. Каждое значение в [-1, 1] достигается ровно один раз на этом интервале. Следовательно, arccos: [-1, 1] → [0, π] существует, является непрерывным и уменьшается. Этот интервал отражает весь диапазон значений косинуса без дублирования.
Монотонность касательной и арктангенс Тангенс строго увеличивается при (−π/2, π/2). Это видно геометрически с помощью построения касательной линии, где увеличение угла увеличивает отрезок касательной, или может быть доказано алгебраически с помощью разностей. Следовательно, обратная функция arctan отображает R на (−π/2, π/2) и является непрерывной и возрастающей. Этот традиционный выбор ориентирует диапазон вокруг нуля.
Дуготангенсные и обычные области В (0, π) котангенс монотонен, что обеспечивает непрерывную обратную дугу R → (0, π). Эти варианты области и диапазона являются скорее традиционными, чем уникальными. Можно выбрать другие интервалы, где сохраняется монотонность, в том числе несимметричные относительно нуля. Основным требованием является непрерывное, монотонное ограничение, гарантирующее непрерывную, монотонную инверсию.
Первое заметное ограничение по областям Для 0 < x < π/2, вписанный прямоугольный треугольник имеет площадь sin x/2, сектор имеет площадь x/2, а описанный прямоугольный треугольник имеет площадь tan x/2. Таким образом, получается sin x < x < tan x. Деление на sin x и взятие обратных величин дает cos x < грех x/x < 1. По четности то же неравенство справедливо для x в (−π/2, 0). При непрерывном косинусе, приближающемся к 1 при нулевом значении, теорема о сжатии дает lim x→0 sin x/x = 1.
Выводы и последующие шаги Из sin x/x → 1 и cos x → 1 следует, что tan x/x → 1. Кроме того, arcsin x/x → 1 с помощью подстановки t = arcsin x, которая преобразует отношение в t/sin t, или путем составления непрерывных функций после определения непрерывного значения в нуле. Здесь признается необходимость использования школьной геометрии, и этот короткий путь распространен во многих университетах. Приветствуются предложения по более раннему, полностью строгому построению. Далее следует второй замечательный предел, включающий в себя e, производные и ключевые теоремы, с планом выпуска каждые одну-две недели и дружеским напоминанием о том, что нужно подтолкнуть, если возникнут задержки.