Определение и графическое представление векторов Векторы служат важным математическим инструментом для моделирования физических явлений, отражая как величину, так и направление. Они обозначаются стрелками или жирным шрифтом и определяются их начальной и конечной точками. Их графическое представление остается неизменным независимо от того, где они нарисованы, подчеркивая, что местоположение не имеет отношения к их внутренним свойствам. Это четкое визуальное изображение закладывает основу для понимания векторов.
Проекция: Определение свойств вектора Расчет векторных проекций включает в себя вычитание значений координат для получения компонентов вдоль заданных осей. Эти проекции однозначно определяют вектор и позволяют проводить точное сравнение, фокусируясь на его отдельных компонентах. Они упрощают такие операции, как сложение и вычитание, за счет преобразования геометрических свойств в алгебраические выражения. Отрицательные значения проекции указывают направление относительно заданной оси.
Операции с векторной алгеброй Векторная алгебра основана на таких операциях, как сложение, вычитание и скалярное умножение. Суммирование векторов выполняется путем сложения их соответствующих проекций, в то время как вычитание определяется путем объединения вектора с противоположностью другого. Умножение вектора на скаляр изменяет его величину, а в случае отрицательных скаляров изменяет его направление на противоположное. Нулевой вектор еще больше подчеркивает структурированность векторных операций.
Базис и системы координат Положение вектора определяется относительно выбранного базиса линейно независимых векторов. Линейно зависимые векторы подразумевают параллельность или копланарность, образуя основу двух- и трехмерного пространства. Системы координат возникают из начала координат и базисных векторов, таких как фиксированные единичные векторы в декартовой системе. Альтернативные системы, такие как цилиндрическая и сферическая, различаются, поскольку их единичные векторы меняются в зависимости от положения, что влияет на такие операции, как интегрирование и дифференцирование.
Скалярное произведение: Основы точечного произведения Скалярное произведение получается путем умножения величин двух векторов и косинуса угла между ними. Оно эффективно измеряет проекцию одного вектора на другой, сводя операцию к сумме произведений соответствующих компонентов. Использование таких обозначений, как символ Кронекера в декартовых координатах, усиливает этот алгебраический подход. Эта операция предоставляет четкий показатель для оценки того, насколько выровнены два вектора.
Векторное произведение с использованием символа Леви-Чивиты Перекрестное произведение создает вектор, перпендикулярный плоскости, определяемой двумя входными векторами. Его величина определяется как произведение величин векторов и синуса угла между ними, а направление определяется с помощью формального правила правой руки. Символ Леви-Чивиты эффективно инкапсулирует этот процесс, позволяя выполнять вычисления на основе матриц, которые позволяют избежать неоднозначных правил направления. Эта формулировка однозначно определяет ортогональный результат при умножении векторов.
Смешанные и двойные изделия больших размеров Комбинирование точечных и перекрестных произведений приводит к получению смешанного произведения, скалярного показателя, который представляет объем параллелепипеда, образованного тремя векторами, и остается неизменным при циклических перестановках. Двойное векторное произведение расширяет эти идеи за счет использования последовательных перекрестных произведений и может быть выражено с помощью покомпонентных операций. Продукты Direct обобщают структуру, позволяя использовать многомерные и даже сложные компоненты. Примечательно, что векторная алгебра по своей сути ограничена, поскольку не включает концепцию деления.