Вот почему ты НЕ ПОНИМАЕШЬ МАТЕМАТИКУ

Неправильно преподанные основы приводят к массовым математическим трудностям У многих учащихся имеются серьезные пробелы в знаниях об алгебраических манипуляциях, особенно о расширяющихся круглых скобках и так называемых “формулах сокращенного умножения”. Рассматривать их как специальные правила для запоминания контрпродуктивно и даже вредно. Большая часть учебной программы для старших классов ‑ это просто элементарные идеи в новой оболочке. Мастерство приходит, когда видишь простое внутри сложного и по-настоящему понимаешь основы.

Умножение - это повторное сложение и Площадь При умножении 7 на 4 получается семь четыре раза, а 4×7 равно 7×4. Прямоугольник со сторонами 7 и 4 мгновенно показывает коммутативность: его вращение не изменяет площадь. Этот геометрический вид будет использоваться неоднократно, поскольку он делает умножение и его свойства наглядными.

Равенство Означает одно число в разных формах Запись 10+3=13 указывает на то, что 10+3 и 13 - это одно и то же число, записанное по-разному. Выражение типа 10+3 можно рассматривать не только как операцию, но и как самостоятельное число — альтернативное название для 13. Эта точка зрения распространяется на любое алгебраическое выражение: после выполнения всех операций оно представляет собой одно число. Вы вольны выбрать форму, наиболее удобную для решения поставленной задачи.

Круглые скобки обозначают выбор восприятия В начальной школе круглые скобки определяют порядок, но в более глубокой форме они обозначают, что выражение рассматривается как одно число. Расширение круглых скобок означает, что мы перестаем рассматривать внутреннюю часть как единое целое и смотрим на ее части. Разложение на множители, или “сокрытие” в круглых скобках, приводит к обратному результату, объединяя фрагменты в один объект. Оба вида являются взаимозаменяемыми и содержат одно и то же число, и вы можете переключаться на любой из них, который вам подходит.

Расширение Одной Скобки - Это Распределение, Не Более Того 8·(10+3) можно рассматривать как восьмерку, сложенную тринадцать раз, или как десять восьмерок плюс три восьмерки. Эти два вида равны, так что 8·(10+3)=8·10+8·3. Геометрически прямоугольник размером 8 на 13 делится на два прямоугольника размером 8 на 10 и 8 на 3. Разложение - это просто разбиение в арифметической форме.

От конкретных цифр к буквам и аксиомам Аргумент в пользу разложения никогда не использовал специальные свойства 8, 10 или 3, поэтому он работает для любых чисел. Вот почему мы записываем такие истины буквами и называем их тождествами. Формально дистрибутивность является одной из аксиом системы счисления (области), в которой мы работаем, поэтому она справедлива для всех чисел, которые мы допускаем. В современной математике мы часто определяем “числа” как именно те объекты, которые удовлетворяют таким свойствам.

Две скобки умножаются, соединяя в пары каждый член Для обработки (4+7)(13+6), временно обработайте одну скобку как единое число, разверните, а затем восстановите ее внутреннюю сумму. Каждый член в результате представляет собой комбинацию: что-то из первой скобки умножается на что-то из второй. Прямоугольник, разрезанный вдоль выбранных отрезков, дает тот же набор областей. Поскольку специальные числовые свойства не использовались, для произвольных букв используется та же схема.

Шаг за шагом раскрываются многие условия и факторы При использовании более чем двух терминов или более чем двух скобок повторно сводите задачу к предыдущим случаям. По сути, это индуктивный способ мышления. В принципе, геометрические интерпретации областей все еще применимы, хотя с учетом многих факторов картина находится в более высоких измерениях. Правило расширения остается неизменным независимо от того, с какого количества фигур вы начинаете.

Разбейте на круглые числа для ускорения вычислений Если 251 преобразовать в 250 + 1, а 1001 - в 1000 + 1, то 251 · 1001 будет легко разложить и вычислить в уме. Такой подход часто быстрее, чем простое умножение, и гораздо более познавателен, поскольку развивает чувство числа. Для 999·1001 просмотр (1000-1)(1000+1) сразу упрощает работу с помощью отмен. При небольшой практике эти изменения становятся естественными.

Разница квадратов проявляется повсюду Попытка использовать соседние пары, такие как 6 и 8, в качестве 7-1 и 7 + 1, каждый раз приводит к одному и тому же результату отмены. Абстрагирование чисел показывает, что (a−b) (a + b)= a ^ 2−b ^ 2, а “квадрат суммы” - это просто (a + b) ^ 2 =a ^ 2+2ab + b ^ 2. Это не какие-то особые уловки, это обычные результаты экспансии.

Геометрия проясняет a ^ 2+2ab+b ^ 2 и a^ 2−b^ 2 Разбиение квадрата на a и b разбивает его на a ^ 2, два прямоугольника ab и b ^ 2, что затрудняет распознавание элемента 2ab. За немного иной перестановкой скрывается наглядное доказательство теоремы Пифагора. Для a ^ 2−b ^ 2, вырезая квадрат b ^ 2 из квадрата a ^ 2 и сдвигая полоску, получаем прямоугольник со сторонами a−b и a + b.

Заученные формулы порождают Ложные ограничения Выделяя “формулы сокращенного умножения” в отдельный блок, учащиеся начинают думать, что особые детали, такие как порядок следования элементов, имеют значение, хотя на самом деле это не так. То же самое относится к шаблонам квадратичных дискриминантов и другим заученным таблицам. Механическое внимание стирает первоначальный смысл — простое расширение скобок, — поэтому ошибки множатся.

Рассматривайте подвыражения как числа, чтобы правильно рассуждать Частая ошибка при минимизации заключается в том, что квадрат минимизируется при x = 0, игнорируя тот факт, что величина в квадрате равна x−5, x + 2 или x−11. Правильное рассуждение рассматривает x−5 и x + 2 как самостоятельные числа, нули которых определяют минимум. Как только появляется такая перспектива, такие ошибки исчезают.

Квадраты степенных неравенств, квадратичные дроби и максимальное произведение Из (a−b) ^ 2≥0 следует a ^ 2+b^ 2≥2ab, и та же логика справедлива при появлении радикалов, если корень рассматривается как число. Любое произведение можно переписать как разность квадратов, выбрав A и B, сумма и разность которых соответствуют множителям, например, 500·1000=(750-250)(750+250). Завершение квадрата, преобразованного в разность квадратов, решает квадратичную задачу, например, x ^ 2 + 6x + 8 = 0 становится (x + 3) ^ 2-1 = 0, что дает x =-4 или x =−2. Та же идея доказывает, что для двух чисел с суммой 100 результат будет максимальным и составит 50·50= 2500. Главный урок: перестаньте заучивать формулы и начните понимать принципы, которые их генерируют.