Множества, элементы и обозначения включений Множество - это набор объектов, сгруппированных по определяющему свойству, а его члены называются элементами. В обозначении различается принадлежность и непринадлежность, и пустое множество не содержит элементов. Равенство множества означает наличие точно таких же элементов, в то время как подмножество обозначает, когда все элементы одного множества находятся в другом. Правильное подмножество использует строгое включение, чтобы показать сдерживание без равенства.
От натуральных чисел к комплексным числам Системы счисления расширяются поэтапно: натуральные числа N преобразуются в целые числа Z путем сложения нулей и целых отрицательных чисел. При сложении дробей получаются рациональные числа Q, а при сложении иррациональных чисел - действительные числа R. При умножении на мнимые числа образуются комплексные числа C.
Два способа задать набор Набор может быть задан путем перечисления его элементов, если их немного, или с помощью характерного свойства P(x), которое точно отражает его принадлежность. Натуральные числа от 3 до 12 включительно могут быть записаны либо с помощью перечисления, либо с помощью обозначения свойств. Наборы решений неравенств обычно берутся вместо действительных чисел, если не указано иное.
Объединение, Пересечение, Разность, Дополнение, Симметричная разность Объединение собирает элементы, принадлежащие хотя бы одному из наборов, в то время как пересечение сохраняет элементы, общие для обоих. Разность A\B сохраняет элементы из A, которых нет в B, а дополнение состоит из элементов, не входящих в A. Симметричная разность содержит элементы, принадлежащие ровно одному из наборов. Диаграммы Эйлера–Венна изображают эти операции, заштриховывая соответствующие области.
Отработанный пример: Операции с конечными множествами Раскрасьте общие элементы в одну сторону, а элементы, уникальные для A и B, - в другие цвета, чтобы считывать все результаты с диаграммы Венна. Объединение - это отсортированный список всех присутствующих элементов, а симметричное различие - это объединение частей, принадлежащих исключительно A или B. Разница B\A - это часть, уникальная для B, пересечение - это общая часть (здесь цифры 3 и 4), а A\B - это часть, уникальная для A.
Интервалы на числовой прямой: Пересечение, Разность, дополнение Поместите полуинтервалы на числовую линию, отметив включенные конечные точки сплошными, а исключенные - полыми, затем считайте их перекрытие. Пересечение находится между -2/5 и 1/3 и открыто с обоих концов, поскольку -2/5 исключается из B, а 1/3 исключается из A. Разница A\ B является частью A за пределами перекрытия и включает в себя -6/7 и -2/5, поскольку оба принадлежат A, в то время как -2/5 отсутствует в B. Дополнение к A состоит из чисел, меньших -6/7 (строго), а также чисел, больших или равных 1/3.
Алгебраические структуры: Группы, кольца и поля Алгебраическая структура - это непустое множество, оснащенное операциями, удовлетворяющими заданным законам; ключевыми примерами являются группы, кольца и поля. Группа позволяет выполнять операцию, не выходя за пределы множества, является ассоциативной, имеет идентификатор и присваивает каждому элементу обратное значение; если операция коммутативна, то это абелева группа с аддитивными группами, использующими 0 и −a. Кольцо - это любое множество, содержащее сумму, произведение и разность любых двух его элементов; четные целые числа образуют кольцо, в то время как нечетные, только положительные или только отрицательные множества этого не делают. Поле представляет собой кольцо с делением на ненулевые элементы: рациональные, вещественные и комплексные числа являются полями, а целые числа - нет; эквивалентно, поля удовлетворяют ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности и разрешимости уравнений A + X = B и A × Y = B для A ≠ 0.