Учебная программа, оценка и план чтения Оценка делится примерно на 60 баллов за практику и 40 - за теорию, 20 - за промежуточный экзамен и 20 - за итоговый. За контрольные работы выставляются свои собственные баллы, и около 20 баллов предоставляются на усмотрение преподавателя семинара. В учебном плане будет подробно описана примерная программа на два семестра, сроки сдачи экзаменов и рекомендуемая литература. Обязательными условиями являются знания только на школьном уровне, поэтому дополнительные подготовительные мероприятия не требуются.
От геометрии к аксиомам: План В курсе используется аксиоматический подход, напоминающий школьную геометрию, с примитивными понятиями и правилами, изложенными заранее. Мы намеренно избегаем полной формализации базового языка, придерживаясь интуитивного изложения. Цель состоит в том, чтобы изложить четкие принципы, которые, в принципе, могут быть полностью формализованы при необходимости.
Логический алфавит: Переменные, связки, кванторы В языке используются переменные, логические связки (and, or, not), равенство и кванторы ∀ и ∃. Кванторы требуют тщательного обращения и не могут быть произвольно переставлены местами. Несмотря на то, что не требуется большого количества манипуляций с формулами, логическая структура остается явной.
Что считается формулой Формула неформально понимается как осмысленная конечная последовательность символов языка. Строгое рекурсивное определение относится к курсу математической логики. Здесь для разработки аксиом множеств достаточно интуитивного представления.
Только наборы и отношение принадлежности Вселенная содержит только множества, и единственным нелогичным отношением является принадлежность, обозначаемая ∈. Элементы сами по себе являются множествами, поэтому нет отдельного типа объектов. Можно было бы использовать абстрактный символ-предикат вместо ∈, но привычный знак сохранен, чтобы соответствовать интуиции.
Выбор ZFC в качестве платформы Принятой системой является теория множеств ZFC—Цермело–Френкеля с аксиомой выбора, причем выбор обсуждается отдельно. Существуют и другие структуры (например, с классами), которые здесь не рассматриваются. Первый представленный основной принцип - это не расплывчатое “множества существуют”, а точная аксиома экстенсиональности.
Расширяемость: Набор - Это Его Элементы Расширенность утверждает, что два множества в точности равны, если в них есть одинаковые элементы. Эквивалентно, множество полностью определяется его принадлежностью. В символах: для всех x и y, x=y, если для всех z, z∈x ⇔ z∈y.
Подмножества, правильные подмножества и равенство через включение Определить X⊆Y как: для каждого Z, то Z∈Х означает, по Z∈г; определять собственное подмножество, добавив х≠Ю. При этом равенство может быть пересчитана взаимного включения: Х⊆Y и y⊆X. В Эти понятия упростить сравнение между подходами.
Пустое множество: существование и уникальность Аксиома существования гарантирует множество без элементов. В силу расширяемости два пустых множества не могут отличаться по элементам, поэтому пустое множество уникально. Уникальное пустое множество обозначается через ∅.
Сопряжение и синглтон Аксиома сопряжения гарантирует, что для любых x и y существует множество, единственными элементами которого являются x и y. Когда x = y, оно преобразуется в синглтон {x}. Например, ∅≠{∅}; из ∅ можно сформировать {∅}, а затем построить пары, тройки и более крупные конечные коллекции.
Упорядоченные пары и кортежи Определите упорядоченную пару по формуле (x,y)={{x},{x,y}}, которая отличает первый компонент от второго. Особый случай x=y рассматривается автоматически. Далее следует стандартный результат: (x1,y1)=(x2,y2), если x1 = x2 и y1 = y2; доказательство - простой анализ случая. Идея аналогично распространяется на конечные кортежи.
Аксиома объединения и объединения множеств Аксиома объединения утверждает, что для любого множества x существует множество, объединяющее все элементы, входящие в x. Из пары {x,y} его объединение дает обычный результат x∈y. Принадлежность к x∈y означает принадлежность по крайней мере к одному из x или y.
Гарантированные конечные конструкции Первые четыре аксиомы позволяют создавать все конечные множества, начиная с ∅. Повторяющееся сопряжение и объединение создает любую желаемую конечную коллекцию. Однако для бесконечных множеств по-прежнему требуется явная гарантия.
Аксиома бесконечности: наследники из пустого множества Аксиома бесконечности утверждает множество, содержащее ∅, и для каждого элемента x также x∈{x}. Начиная с ∅ и многократно формируя x∈{x}, получается бесконечная цепочка ∅, {∅}, {∅,{∅}}, и так далее. Не каждая коллекция с фигурными скобками должна быть набором, но это обеспечивается аксиомой.
Натуральные числа, построенные из множеств Обозначьте ∅ как 0, {∅} как 1 и {∅,{∅}} как 2, продолжая аналогично. В результате получаются натуральные числа с нулем, часто обозначаемые как N0. При желании можно опустить 0, но оба описывают бесконечную прогрессию, гарантируемую аксиомой бесконечности.
Схема разделения и метафора обувной коробки Схема разделения позволяет выделить в любом наборе подмножество элементов, удовлетворяющих заданному свойству φ; это схема, потому что φ может быть любой формулой. Для конечного числа коробок с обувью можно написать конечное правило для выбора одной из каждой, но для бесконечного числа коробок требуется единообразное свойство. Выбор подходящей обуви из каждой коробки поддается определению; при наличии неразличимых шнурков такой выбор требует еще одной аксиомы, о которой мы поговорим позже.
Подмножества по свойствам в рамках существующих наборов Для любого множества X и любого свойства φ схема разделения по аксиомам гарантирует набор всех элементов X, которые удовлетворяют φ. Кванторы относятся к переменным, а не к свойствам, поэтому каждое свойство соответствует своему собственному экземпляру аксиомы. Этот механизм выделяет подмножества с помощью формул. Его суть заключается в выборе внутри чего-то, что уже известно как множество.
Даже Натуралы через разделение Выбор X в качестве натуральных чисел и φ(y): ∃z (y=2z) дает подмножество четных натуральных чисел. Условие является допустимой формулой, поэтому применяется разделение. Результатом является точное множество натуральных чисел, кратное двум.
Отбор Только внутри Наборов, А Не Из Ничего Разделение никогда не позволяет создавать набор из ничего. Выражения, подобные {x | condition}, должны указывать окружающий набор, из которого берется x. Четкое указание этого источника предотвращает ошибки в более точных аргументах.
Нет набора из всех наборов Предположим, что множество X всех множеств существует и в виде Y={а∈х | д∉В} С помощью разделения. Если y∈y, то по определению г∉y, т. е. если y∉y, то и y∈Ю. Противоречие показывает, что не все наборы. Популярный “парадокс Рассела” - это просто эта теорема.
Вселенные и классы как практические контексты Поскольку не все, что указано в фигурных скобках, является множеством, на практике часто фиксируется большая вселенная: контекстно-зависимая коллекция множеств, используемых в задаче. В другой аксиоматической системе различают множества, которые могут быть элементами, и классы, которые не могут быть элементами, неофициально называемые “очень большими” коллекциями. В ZFC все еще можно неофициально говорить о юниверсе, чтобы противопоставить его определенным наборам. Затем выбор и операции выполняются внутри этого выбранного юниверса.
Установите операции с момента разделения Пересечение X∈Y состоит из элементов X, которые также принадлежат Y. Разность X\Y состоит из элементов X, не входящих в Y, и симметричная разность исключает пересечение из объединения. Дополнение определяется относительно выбранного юниверса как юниверс минус множество. Все эти знакомые операции вытекают из более ранних аксиом и разделения.
Аксиома набора мощности расширяет Вселенную Аксиома степенного множества утверждает, что для любого множества X существует множество P (X) = 2 ^ X из всех подмножеств X. Это предлагает другой конструктивный способ построения более крупных множеств из заданных. Если взять все подмножества множества, получится новое множество, готовое для дальнейшего использования.
Силовой агрегат из трехэлементного набора Для X={A,B, C}, P(X) содержит ∅, синглтоны {A},{B},{C}, двухэлементные подмножества {A,B},{A,C},{B,C} и сам X. Каждое перечисленное подмножество действительно является подмножеством X, поэтому принадлежит P (X). Этот конкретный список иллюстрирует набор степеней.
Регулярность (Foundation) Обеспечивает минимальное членство Аксиома регулярности (основы) гласит, что каждое непустое множество имеет элемент, не пересекающийся с ним. Аналогично, в любой непустой коллекции есть элемент, не имеющий общих элементов с коллекцией. Это создает понятие минимальности в отношении принадлежности. Это важно для построения иерархий множеств, но редко проявляется явно за пределами теории множеств.
Регулярность запрещает циклы и бесконечные ∈-цепочки Запреты регулярности бесконечной убывающей членство цепи х1∋х2∋х3∋.... Он также запрещает самостоятельное членство х∈х и взаимное членство циклов X∈Y и y∈х. Для синглтона {x} единственным элементом является x, но тогда {x}∈x≠∅, если x∈x, что противоречит закономерности. Эти запреты обеспечивают правильную иерархическую конструкцию.
Выбор Позволяет осуществлять Выбор Без определения Свойств Разделение позволяет выбрать один ботинок из каждой пары, используя свойство “левый/правый”, но неразличимые шнурки опровергают любую такую формулу. Аксиома выбора утверждает, что выбор из каждого из бесконечно большого числа непустых ящиков существует даже без различающих свойств. Важно отметить, что совокупность всех выбранных элементов образует множество. Это формализует выбор одного элемента из каждого непустого множества, когда известно только его существование.
Выбор с помощью непересекающихся непустых семейств Если X - это набор попарно непересекающихся непустых подмножеств, то существует множество, пересекающее каждый элемент X ровно в одном элементе. Эта формулировка гарантирует как выбор, так и то, что результатом является множество. На практике используется множество эквивалентных утверждений по выбору, часто не признаваемых таковыми.
Счетные подмножества бесконечных множеств зависят от выбора Стандартный аргумент выбирает элементы один за другим из бесконечного множества для построения последовательности, заключая, что существует счетное подмножество. С учетом выбранной аксиомы эта конструкция верна и дает счетное подмножество. Без выбора это доказывает только существование сколь угодно больших конечных подмножеств, а не возможность счета. Это показывает, как выбор может быть скрыт в привычных рассуждениях.
Неконструктивный характер и последствия выбора Более ранние аксиомы были конструктивными, в то время как choice просто говорит, что “это можно сделать”, не предоставляя метода. Исторически сложилось так, что они принимались неохотно, но отказ от них привел бы к отказу от большей части математики, потому что ее использование повсеместно и его трудно отследить. С помощью choice можно доказать противоречащие здравому смыслу результаты, такие как парадоксальные разложения с использованием неизмеримых множеств. Несмотря на неконструктивный характер, в настоящее время это стандарт.
Изменение аксиом Приводит к изменению доступных наборов Отбрасывание аксиом изменяет то, какие множества существуют. Без аксиомы степенного множества конструкции непрерывного размера, такие как вещественные числа, интервал [0,1] или множество бесконечных последовательностей 0-1, недоступны, поскольку они неисчислимы. Удаление аксиомы бесконечности и сохранение исходных аксиом позволяет получить модели, состоящие из наследственно конечных множеств. Для обычных объектов, таких как натуральные числа, сохраняется полная система аксиом.
Декартовы произведения и конечные степени При заданных упорядоченных парах декартово произведение X×Y представляет собой набор пар (x,y), где x∈X и y∈Y. Пример: {1,2}×{A,B,C} равно {(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C)}. Построение X× Y как множества основано на более ранних аксиомах, в частности на степенном множестве. Конечные произведения A1×…×An определяются аналогично, и X ^ 0 - это набор, содержащий пустой кортеж.
Отношения и функции на множествах Отношение от X к Y - это любое подмножество X×Y; бинарное отношение на X - это подмножество X×X. Диагональ ΔX состоит из пар с одинаковыми координатами, представляющих равенство на X. Функция f∈X×Y присваивает каждому x∈X ровно один y∈Y: ее первые компоненты охватывают X, и ни один x не связан с двумя разными y. Функция определяется ее областью, кодоменом и графом пар.