Полный курс алгебры в колледже

Понимание основ и показателей Выражение, подобное 2 ^ 5, является сокращением для умножения основания 2 на само себя в пять раз, а x ^ n означает, что x умножается само на себя n раз. Нижнее число - это основание, а верхнее число - показатель степени, также называемый степенью. Показатели степени сводят повторное умножение к одному символу, который отслеживает, сколько множителей в базе появляется.

Добавляйте показатели степени при умножении на одно и то же основание Правило произведения гласит: x ^ n · x ^ m = x ^(n+ m). Умножение степеней одного и того же основания просто увеличивает количество раз, когда появляется основание. Например,, 2^3 · 2^4 = 2^7 потому что семь двоек получаются из трех двоек и четырех двоек вместе взятых.

Вычитание показателей степени при делении одного и того же основания Частное правило гласит: x ^ n / x ^ m = x ^(n−m). При делении общие множители отменяются, оставляя разницу в показателях. Например,, 3^6 / 3^2 = 3^4 потому что два множителя из 3 отменяются, оставляя четыре.

Умножайте показатели при возведении в степень Правило степени гласит (x ^ n) ^ m = x ^ (n · m). Степень степени суммирует повторяющиеся группы, поэтому показатели умножаются. Пример: (5^4)^3 = 5^12 потому что есть три группы по четыре множителя, равные 5, в общей сложности двенадцать.

Почему нулевой показатель равен единице Любое ненулевое основание нулевой степени равно 1. Используя правило частного, 2^3 / 2^3 = 2^(3-3) = 2^0 должно быть равно 1, и та же логика справедлива для любой базы. Это определяет x ^ 0 = 1 в соответствии с другими правилами.

Отрицательные показатели представляют собой Обратные величины Отрицательный показатель степени инвертирует основание: x ^ (−n) = 1/x ^ n. Это требует соответствия правилу произведения, поскольку x ^ n · x ^(−n) = x ^ 0 = 1. Пример: 5^(-7) = 1/5^7.

Дробные Показатели - Это Корни Значение x ^ (1/n) - это n-й корень из x. Это соответствует правилу степени, потому что (x ^ (1/3)) ^ 3 = x, и аналогично для других корней. Примеры: 64^(1/3) = 4 и 9^(1/2) = 3.

Распределяйте показатели по произведениям и частным, а не по суммам Показатели степени распределяются при умножении и делении: (xy) ^ n = x ^ n y ^ n и (x/ y) ^ n = x ^ n / y ^ n. Они не распределяются при сложении или вычитании, поэтому (a+b)^n ≠ a^n + b^n в общем случае. Простые проверки, такие как (2+3)^2 ≠ 2^2 + 3^2, подтверждают предупреждение.

Собраны восемь основных правил определения экспоненты Ключевые правила: произведение, частное и степень в степени; нулевые, отрицательные и дробные показатели; распределение между произведениями и частными. Эти правила объясняют и контролируют все алгебраические манипуляции со степенями. Неправильное применение их при сложении или вычитании приводит к распространенным ошибкам.

Два пути для упрощения 3·x ^(-2)/x ^ 4 Обработайте x ^ (-2) как 1/x ^ 2, чтобы получить 3/(x ^ 2 · x ^ 4) = 3/x ^ 6. Или сначала примените правило частного: x ^ (-2)/x ^ 4 = x ^ (-6), затем используйте правило отрицательной экспоненты, чтобы записать 3/x ^ 6. Коэффициент 3 остается неизменным, поскольку показатель применим только к x.

Переключение коэффициентов по линейке дробей Множитель с отрицательным показателем в числителе переходит в знаменатель с положительным показателем, и наоборот. Этот короткий путь дает результат 3x ^ (-2)/x ^ 4 = 3/x ^(4+ 2) = 3/x ^ 6 и 4y ^ 3/y ^(-5) = 4y ^(3+ 5) = 4y ^ 8. Движущиеся коэффициенты устраняют отрицательные показатели перед объединением одинаковых оснований.

Объединение переменных для устранения отрицательных показателей Соберите похожие основания в одном месте, чтобы очистить знаки: переместите числитель y ^ 3 в знаменатель как y ^ (-3), если все члены y находятся ниже, и переместите z ^ (-2) из знаменателя в числитель как z ^ 2. Константы не перемещаются, потому что показатели относятся к переменным, а не к коэффициентам. После перегруппировки объедините показатели с правилом произведения, чтобы все было чисто.

Распределение дробной мощности После упрощения Сначала упростите внутри круглых скобок, переместив множители так, чтобы все x были помещены в числитель, а все y - в знаменатель, а затем объедините показатели степени. Например, перепишите внутреннюю часть как 25x ^ 10/y ^ 8 и увеличьте до 3/2, распределив по продуктам и коэффициентам. Умножьте экспоненты, чтобы получить x ^ 15 / y ^ 12, и оцените 25 ^ (3/2) как 125, чтобы получить итоговые 125x ^ 15 / y ^ 12.

Радикальная нотация отражает законы экспоненты N-й корень представляет собой число, которое при возведении в n возвращает радикал. Радикалы распределяются по произведениям и частным, но не по суммам или разностям. Экспонента в виде x ^ (1/n) отражает то же поведение и объясняет эти правила распределения.

Перевод между a ^(m/n) и корнями Запишите a ^ (m/n) как n-й корень из a ^ m или как n-й корень из a, затем возведите в m. Степень к степени оправдывает оба порядка, поскольку m·(1/n) = (1/n)·m = m/n. Для запоминания используется “степень к корню”: числитель m - это степень, а знаменатель n - корень.

Эффективное вычисление 25^(-3/2) Перепишите отрицательный показатель степени как обратный: 1/25^(3/2). Проще всего извлечь корень из числа в степени без калькулятора: (√25)^3 = 5^3 = 125. В результате получится 1/125.

Извлечение идеальных квадратов из квадратного корня Чтобы упростить радикал, разложите числа и переменные на идеальные квадраты. Для √(60x ^ 2y ^ 6/z ^ 11) запишите 60 как 2 ^2·3·5 и y ^ 6 как три множителя y ^ 2, затем разделите радикал на произведения и частное. Замените квадратные корни квадратами, чтобы получить 2√ 15 · x · y ^ 3 / (z ^ 5 √ z), оставив только один радикальный множитель.

Приведение к рациональному знаменателю Чтобы извлечь квадратный корень из знаменателя, умножьте числитель и знаменатель на этот корень. Для 3√x/x умножьте на √x /√x, чтобы знаменатель стал x, и упростите. Окончательная форма - 3√x без радикала ниже планки дроби.

Факторинг начинается с самого распространенного фактора При факторинге сумма преобразуется в произведение и проверяется путем обратного распределения. Всегда сначала извлекайте наибольший общий коэффициент, чтобы упростить оставшуюся работу. Пример: x ^ 2y + y ^ 2x ^ 3 = x ^ 2y(1 + xy).

Группировка для выявления общего биномиала Используя четыре члена, разложите первую пару и вторую пару по отдельности, а затем разложите общий биномиал. Для x ^ 3 + 3x ^ 2 + 4x + 12 извлеките x ^ 2 и 4, чтобы выявить (x + 3) в обеих частях и записать (x+ 3)(x ^ 2+ 4). Суммы квадратов типа x ^ 2 + 4 больше не умножаются на целые числа.

Квадратичные трехчленные числа через сумму и произведение Когда a = 1 в ax ^ 2 + bx + c, найдите два числа, которые умножаются на c и прибавляются к b. x ^ 2 − 6x + 8 умножается на (x − 2)(x − 4), потому что -2 ·-4 = 8 и -2 + -4 = -6. Проверка путем разложения подтверждает правильность.

Когда a ≠ 1, разделите средний член Умножьте a и c, найдите пару, которая в сумме даст b, и разделите bx соответственно. Для 10x ^ 2 + 11x − 6 используйте -4 и 15, чтобы переписать 11x, затем умножьте на (5x − 2)(2x + 3). Этот метод переменного тока является систематическим и позволяет избежать догадок.

Особые формы: Отличие квадратов от кубов a ^ 2 − b ^ 2 умножается на (a + b)(a − b), в то время как суммы квадратов, таких как x ^ 2 + 4, не умножаются на реальные числа. Суммы и разности кубиков умножаются на a ^ 3 ± b ^3 = (a ± b)(a ^2 ∈ ab + b^ 2). Пример: y ^3 + 27 = (y + 3)(y ^ 2 − 3y + 9).

Диагностика и многоуровневые методы факторинга Быстро выявляйте общие коэффициенты, разности квадратов, суммы квадратов, не поддающиеся разложению на множители, и возможности для группировки. Квадратичные вычисления часто уступают методу AC после извлечения общего множителя. Сложные задачи могут потребовать объединения нескольких методов, пока не останется никакой факторизации.

Оперирование рациональными выражениями Сократите до наименьшего значения, разложив числители и знаменатели на множители и отменив общие коэффициенты. Умножьте, умножив числители и знаменатели; разделите, перевернув вторую дробь и умножив на нее; сохраните коэффициенты в выражениях, чтобы можно было отменить. Пример: после факторинга и отмены заказа продукт может быть упрощен до x(x − 4).

Сложение с наименьшим общим знаменателем Выберите наименьший общий знаменатель, разложив каждый знаменатель на множители и собрав только необходимые коэффициенты. Для чисел 7/6 − 4/15 становится 35/30 − 8/30 = 27/30 = 9/10. Для 3/(2x+ 2) + 5/(x ^ 2 − 1) умножьте на 2(x + 1) и (x+ 1)(x−1), используйте ЖК−дисплей 2(x+ 1)(x-1), масштабные числители и объедините в (3x+7)/[2(x+1)(x−1)].

Решение квадратичных уравнений: разложение на множители и квадратичная формула Запишите ax ^ 2+bx+c=0, затем, если возможно, умножьте на коэффициент или используйте квадратичную формулу x = [−b ± √(b ^ 2 − 4ac)]/(2a). y ^ 2 = 18 − 7y становится y ^ 2 + 7y − 18 = 0 и умножает на (y + 9)(y − 2), что дает y = -9 или 2. x(x+ 2) = 7 приводит к x ^ 2 + 2x − 7 = 0 с решениями -1 ± 2√ 2, а очистка знаменателей не может выявить реальных решений, когда дискриминант отрицательный.

Безопасное решение рациональных и радикальных уравнений Для рациональных уравнений найдите наименьший общий знаменатель, очистите знаменатели, умножив обе части, решите и проверьте, нет ли посторонних корней, которые приводят к обнулению знаменателя. Примеры результатов включают x = -3/4 и c = -2, в то время как c = -1 отклоняется из-за того, что знаменатель равен нулю. Для уравнений с радикалами или дробными показателями выделите радикал, удалите его с помощью возведения в квадрат или обратных степеней, включите ± при извлечении четных корней и проверьте решения (x = 9 допустимых; 16 посторонних; p = ± 1/32 оба допустимых).

Уравнения абсолютных значений и основы интервальной записи Абсолютное значение измеряет расстояние от нуля: |x| = a дает значение x = ±a, в то время как |выражение| = отрицательное значение не имеет решения. В интервальной системе счисления используются круглые скобки для открытых концов и круглые скобки для включающих концов, при этом бесконечность всегда сочетается со скобками; слева приведен список меньших значений. Преобразование между неравенствами и интервалами может потребовать изменения направления неравенства на противоположное, чтобы сначала поместить меньшую границу.

Абсолютное значение и линейные неравенства, интерпретируемые на числовой линии |x| < 5 описывает точки в пределах пяти единиц от нуля, -5 < x < 5, а |x| ≥ 5 описывает точки, расположенные на расстоянии не менее пяти единиц, x ≤ -5 или x ≥ 5, соединенные объединением. Перевести |3 − 2t| < от 4 до -4 < 3 − 2т < 4 и решите; преобразуйте |3 − 2t| > 4 в два отдельных неравенства и решите каждое из них. Линейные неравенства решаются аналогично уравнениям, но умножение или деление на отрицательное значение отменяет неравенство; в составных выражениях используются пересечения (и) или союзы (или) на числовой прямой.

Полиномиальные и рациональные неравенства с помощью знакового анализа Переместите все члены в одну сторону и решите соответствующее уравнение, чтобы найти критические точки. Нанесите их на числовую линию и проверьте интервалы, чтобы определить, является ли выражение положительным или отрицательным. Например, x ^ 2 − 4 < Значение 0 находится строго между -2 и 2; затем этот подход распространяется на полиномы более высокой степени и, с осторожностью, на рациональные выражения.

Факторинговые и знаковые тесты Решают полиномиальные неравенства Сложите выражение x(x − 6)(x + 1) и отметьте его нули -1, 0 и 6 в числовой строке. Проверьте значение в каждом интервале: при x = -2 произведение отрицательное; между -1 и 0 оно положительное; между 0 и 6 оно отрицательное; после 6 оно положительное. Поскольку неравенство равно ≥ 0, укажите нули и интервалы, где произведение положительное. Решение заключается в следующем [-1, 0] ∪ [6, ∞).

Нули и неопределенные точки приводят к рациональным неравенствам Для (x ^ 2 + 6x + 9)/(x − 1) ≤ 0 числитель равен нулю при x = -3, а выражение не определено при x = 1. Поместите значения -3 и 1 в числовую строку и проверьте интервалы: x = -4 дает отрицательное значение, x = 0 дает отрицательное значение, а x = 2 дает положительное значение. Сохраните точку, в которой выражение равно нулю, и интервалы, в которых оно отрицательно. Решение равно x < 1, записано (−∞, 1).

Расстояние между точками по Пифагору Постройте прямоугольный треугольник между (x1, y1) и (x2, y2), чтобы получить расстояние d = √ [(x2 − x1) ^ 2 + (y2 − y1) ^2] из теоремы Пифагора. Квадратичные разности координат складываются, потому что они представляют собой длины отрезков в квадрате, а расстояние всегда положительно. Между P(-1, 5) и Q(4, 2) вычисляем d = √[(4 − (-1))^2 + (2 − 5)^2] = √(25 + 9) = √34. Замена точки на первую или вторую дает тот же результат.

Средняя точка как среднее значение координат Средняя точка отрезка с конечными точками (x1, y1) и (x2, y2) - это среднее значение координат: ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). Для значений (-1, 5) и (4, 2) средняя точка равна (3/2, 7/2). Любая конечная точка может быть помечена первой; среднее значение будет одинаковым.

Стандартная форма круга с расстояния и пример Окружность радиуса r с центром в точке (h, k) удовлетворяет (x − h) ^ 2 + (y − k) ^ 2 = r ^ 2, поскольку каждая точка находится на расстоянии r от центра. Для радиуса 6 и центра (0, -3) уравнение имеет вид x ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 36. Константы h и k вычитаются внутри квадратов, а радиус возводится в квадрат с другой стороны.

Считывание параметров круга и заполнение квадрата В стандартной форме (x − h) ^ 2 + (y − k) ^ 2 = r ^ 2, центр равен (h, k), а радиус равен √r^ 2; для (x − 5) ^ 2 + (y + 6)^ 2 = 5, центр равен (5, -6), а радиус равен √5. Уравнение типа x ^ 2 + y ^ 2 + 8x − 2y + 4 = 0 преобразуется путем группировки x-членов и y-членов и заполнения квадрата. Добавьте (8/2) ^ 2 = 16 к группе x и (-2/2) ^ 2 = 1 к группе y с обеих сторон, чтобы получить (x + 4) ^ 2 + (y − 1) ^ 2 = 13. Это показывает окружность радиусом √13 с центром в точках (-4, -1).

Почему заполнение квадрата воссоздает (x−h)2 Расширяя (x − h) ^ 2, получаем x ^ 2 − 2hx + h ^ 2, показывая, как коэффициент линейного члена определяет h. Начиная с x ^ 2 + bx, добавляя (b / 2) ^ 2, получаем идеальный квадратный трехчленный. Добавленная константа становится h ^ 2, которая завершает (x − h) ^ 2.

Наклон – Форма пересечения и наклон графика Линию можно записать в виде y = mx + b, где m - угол наклона, а b - точка пересечения с линией y. Используя точки сетки (1, 2) и (5, -1), угол наклона равен (-1 − 2)/(5 − 1) = -3/4. Подставляя (1, 2) в y = (-3/4)x + b, получаем b = 11/4, таким образом, уравнение имеет вид y = (-3/4)x + 11/4.

Горизонтальные и вертикальные линии в виде уравнения Горизонтальная линия имеет наклон 0 и уравнение y = константа, например, y = 3,5. Вертикальная линия не имеет перегиба и записывается как x = константа, например, x = -2. Вертикальные линии не выражаются в виде y = mx + b.

Уравнения с двумя точками: Наклон–пересечение и точка–наклон Учитывая две точки, вычислите m = (y2 − y1)/(x2 − x1) и используйте либо форму пересечения наклона, либо форму точки наклона. Для (1, 2) и (4, -3) m = -5/3, а подстановка в y = mx + b дает y = (-5/3)x + 11/3. Эквивалентно, y − 2 = (-5/3) (x − 1) сводится к тому же уравнению.

Параллельные и перпендикулярные линии имеют предсказуемые наклоны Параллельные линии имеют равные наклоны; переписав 3y − 4x + 6 = 0 как y = (4/3)x − 2, получим m = 4/3. Параллель через (-3, 2) имеет b = 6, что дает y = (4/3) x + 6. Перпендикулярные прямые имеют противоположные наклоны; для y = -2x + 4/3 наклон перпендикуляра равен 1/2, а через (4, 1) линия равна y = (1/2)x − 1.

Перпендикуляры и параллели к горизонтальным линиям Линия, параллельная y = 3, также должна быть горизонтальной; через (-2, 1) это y = 1. Линия, перпендикулярная y = 4, должна быть вертикальной; через (3, 4) это x = 3. Горизонтальная и вертикальная линии образуют пару под углом 90 градусов.

Функции сопоставляют каждый вход с одним выходом Функция присваивает каждому входу ровно один выходной сигнал; f(x) обозначает выходной сигнал для входа x. Для f(x) = x^ 2 + 1, f(2) = 5 и f(5) = 26. При вычислении выражений типа f(a + 3) замените все выражение круглыми скобками, чтобы получить (a + 3)^2 + 1.

Графики как функции и тест на вертикальную линию График представляет функцию, если он проходит проверку на наличие вертикальной линии: ни одна вертикальная линия не проходит через него более одного раза. Окружность не проходит этот тест, но корректный график позволяет считывать выходные данные, такие как g(2) = 3. Если ни одна точка не имеет x = 5, то g(5) не существует.

Области и диапазоны из теней на графике Область состоит из всех значений x, которые отображаются в тени графика на оси x, а диапазон состоит из соответствующих значений y на оси y. В одном примере область равна [-8, 4], а диапазон равен [-5, 3]. Конечные точки включаются, когда график достигает их.

Ограничения алгебраической области: Знаменатели и четные корни Алгебраически исключите значения x, которые делают знаменатели нулевыми, а радикалы четных корней отрицательными. Для 1/(x^ 2 − 4x + 3) разложение на множители показывает x ≠ 1 и x ≠ 3. Для √(3 − 2x) требуется 3 − 2x ≥ 0, что дает x ≤ 3/2.

Пересекающиеся условия для построения домена Если присутствуют как знаменатель, так и четный корень, наложите оба ограничения и пересеките их. При x ≠ 1, x ≠ 3 и x ≤ 3/2 допустимыми значениями x являются (−∞, 1) ∪ (1, 3/2]. Числовая линия помогает визуализировать пересечение.

Формы функций инструментария, которые нужно знать наизусть Запомните формы функций инструментария: y = x (прямая), y = x ^ 2 (четная парабола), y = x ^ 3 (нечетная кривая), y = √ x (начинается в начале координат) и y = | x| (V-образная форма). Экспоненциальный показатель y = 2 ^ x быстро возрастает, y = 1/ x - нечетная гипербола с ответвлениями в квадрантах I и III, а y = 1/x ^ 2 - четная с ответвлениями в квадрантах I и II. Нечетные функции имеют симметрию вращения на 180 градусов вокруг начала координат; четные функции имеют зеркальную симметрию по оси y.

Внутреннее в сравнении с внешним: ключ к преобразованиям Числа вне функции изменяют значения y, вызывая вертикальные сдвиги, растяжения, сжатия и отражения, которые перемещаются в ожидаемом направлении. Числа внутри функции изменяют значения x, вызывая горизонтальные сдвиги, растяжения, сжатия и отражения, которые действуют в направлении, противоположном знаку. Сложение сдвигает график; умножение масштабирует его; отрицательный знак отражает это на соответствующей оси.

Сдвиги, растяжки и размышления о √x При y = √x − 4 вычитание 4 снаружи уменьшает все значения y на 4. При y = √(x + 12) добавление 12 внутри сдвигает график на 12 единиц влево. При y = -3√x умножение на -3 снаружи растягивает вертикаль на 3 и отражается по оси x. При y = √(x/4) умножение внутри на 1/4 растягивает горизонталь на 4, что эквивалентно уменьшению по вертикали на 1/2 для этой функции.

Распознавание квадратичных чисел и их двух форм Квадратичная функция имеет вид ax ^ 2 + bx + c с a ≠ 0; x ^ 2 соответствует b = c = 0. Выражения типа 2 (x − 3) ^ 2 + 4 являются квадратичными в виде вершин, которые расширяются до стандартной формы. Форма вершины равна a(x − h) ^ 2 + k, где (h, k) - вершина.

Направление параболы, пересечения и вершина Знак a определяет, открывается ли парабола вверх (a > 0) или вниз (a < 0). Для y = 2(x − 3) ^2 + 4 вершина равна (3, 4), и граф открывается вверх, возможно, без x-перехватов. Для g (x) = 5x ^ 2 + 10x + 3 квадратичная формула дает два x-перехвата; y-перехват равен g(0) = 3. Вершина квадратичной формы стандартной формы находится в точке x = -b / (2a), где y находится путем подстановки; здесь это (-1, -2).

Преобразование между вершинными и стандартными формами Чтобы преобразовать из вершинной в стандартную форму, разверните квадрат и распределите ведущий коэффициент. Чтобы преобразовать из стандартной формы в вершинную, используйте x = −b/(2a) для нахождения h, вычислите k, вычислив функцию в точке h, и оставьте то же значение a. Для g(x) = 2x ^ 2 + 8x + 6 вершина равна (-2, -2), что дает g(x) = 2(x + 2) ^2 − 2.

Почему вершина находится в точке x = −b/(2a) Квадратичная формула помещает x-перехваты в x = [−b ± √(b ^ 2 − 4ac)]/(2a). Эти значения симметричны относительно x = −b/(2a), поэтому координата x вершины равна средней точке -b/(2a). Эта симметрия сохраняется даже при отсутствии реальных пересечений.

Градусы, поворотные точки и конечное поведение Степень многочлена - это его наивысший показатель; старший член имеет этот показатель, а его коэффициент является ведущим коэффициентом. Число точек поворота не более чем в степени минус единица; в четверичной дроби может быть до трех, но возможно и меньше. Определение степени и коэффициентов помогает предугадать общую форму графика.

Соответствие конечного поведения степени и опережающему коэффициенту Конечное поведение зависит от соотношения степеней и знака опережающего коэффициента. Четная степень с положительным опережающим коэффициентом увеличивается на обоих концах; четная с отрицательным понижается на обоих. Нечетная степень с положительным повышением справа и понижением слева; нечетная степень с отрицательным повышением слева и понижением справа. Исходя из четырех поворотных моментов и правильного поведения в восходящем направлении, определите нечетную степень, по крайней мере, пятую, с положительным ведущим коэффициентом.

Экспоненциальные функции: Начальное значение, основание и форма Экспоненциальная функция имеет вид f(x) = a·b^x при a ≠ 0 и b > 0, где f(0) = a. Если b > 1, функция увеличивается; если 0, то < b < 1 она уменьшается; чем ближе b к 1, тем пологее кривая. Все такие графики имеют горизонтальную асимптоту y = 0, область (−∞, ∞) и диапазон (0, ∞), когда a > 0, или (−∞, 0), когда a < 0. Функция e^x является ключевым примером с основанием e ≈ 2.718.

Моделирование роста и затухания с помощью экспонент Повторное процентное изменение умножается на коэффициент роста за каждый период: b = 1 + r для увеличения и b = 1 − r для уменьшения, причем r записывается в виде десятичной дроби. Зарплата с ежегодным повышением на 3% соответствует S(t) = 40 000·1,03^t. Численность населения мира, рассчитанная как P(t) = 6,79·1,011^t, предсказывает рост, в то время как ликвидация наркотиков D(t) = 400·0,89^t моделирует экспоненциальный спад.

Чтение и применение экспоненциальных формул, интереса и логарифмов Уравнения вида A·(1 ± r)^x показывают начальную величину A и процентное изменение r; для f(x) = 12·1,45^ x начальное количество равно 12 000 с увеличением на 45% в час. Численность населения, равная 3000·0,78^х, уменьшается на 22% в год. При начислении сложных процентов используется P(t) = A(1 + r) ^t для ежегодного начисления и P(t) = A(1 + r/n)^{nt} для n раз в год; при непрерывном начислении используется P(t) = A·e^{rt}. Логарифмы кодируют показатели степени: log_a(b) = c именно тогда, когда a ^ c = b, поэтому log_2(8) = 3, log_2(16) = 4 и log_2(2) = 1.

Отрицательные показатели преобразуют дроби в логарифмы Возведение числа 2 в отрицательную степень приводит к обратному результату, поэтому логарифмическое основание 2 из 1/2 равно -1, а логарифмическое основание 2 из 1/8 равно -3. Поскольку любое основание в нулевой степени равно 1, логарифмическое основание 2 из 1 равно 0. Логарифмы могут давать положительные, отрицательные или нулевые значения в зависимости от входных данных.

Общий домен журнала и канонические значения Миллион равен 10 ^ 6, поэтому логарифмическое основание 10 из 1 000 000 равно 6. Отрицательные показатели из 10 дают небольшие положительные числа, что приводит к отрицательным логарифмам. Ни один показатель степени, равный 10, не дает 0 или отрицательного числа, поэтому логарифмическая база 10, состоящая из 0 и отрицательных входных данных, не существует. В общем случае, область log_a(x) равна x > 0 для любого допустимого базового значения a.

Натуральный логарифм и общепринятая логарифмическая запись ln(x) обозначает логарифмическую базу e для x, где e равно 2,718. log(x) без базы означает логарифмическую базу 10 (общий логарифм). В научных калькуляторах предусмотрены специальные кнопки для обоих вариантов.

Переключение между логарифмической и экспоненциальной формами log_a(b) = c означает a^c = b, и наоборот. Например, логарифмическая база 3, равная 1/9 = -2, эквивалентна 3^(-2) = 1/9, а 10^1,11394 = 13 соответствует логарифмуической базе 13 ≈ 1,11394. Аналогично, e ^(-1) = 1/e соответствует ln(1/e) = -1. При преобразовании экспонент в логарифмы сохраняйте основание: 3 ^ u = 9,78 становится логарифмическим основанием 3 из 9,78 = u, а e ^(3x + 7) = 4 − y становится ln(4 − y) = 3x + 7.

Нарисованный вручную график y = log₂(x) и его форма Выберите значения x, которые являются степенями 2, и их обратные значения, чтобы получить целочисленные выходные данные: (1,0), (2,1), (4,2), (8,3) и (1/2,-1), (1/4,-2), (1/8,-3). Кривая медленно увеличивается, пересекает (1,0) и приближается к вертикальной асимптоте при x = 0 при y → −∞. При x ≤ 0 точек нет, поскольку логарифмы неположительных чисел не определены. Домен равен (0, ∞), а диапазон - это все действительные числа.

Логарифмические Графики Разделяют Основную Геометрию Между Базами Данных Для любого основания a > 1 y = log_a(x) имеет область x > 0, диапазон всех действительных чисел и вертикальную асимптоту при x = 0. Все такие графики проходят через (1,0) и отличаются в основном крутизной. Например, y = log_10(x) также проходит через (10,1).

Вертикальные сдвиги: ln(x) + 5 Добавление 5 сдвигает график ln(x) вверх на 5 единиц. Область остается (0, ∞), в диапазоне остаются все действительные числа, а вертикальная асимптота остается x = 0. Точка (1,0) перемещается в (1,5).

Горизонтальные сдвиги: логарифм(x + 2) Замена x на x + 2 сдвигает логарифмический график влево на 2 единицы. Вертикальная асимптота перемещается с x = 0 на x = -2, и область становится (-2, ∞). В диапазоне остаются только действительные числа.

Вычисление доменов по аргументам журнала Аргумент log должен быть положительным. Например, для log(2 − 3x) требуется 2 − 3x > 0, поэтому x < 2/3. Запоминание базовой формы журнала и требования к достоверности делают проверку домена быстрой.

Экспоненты и логарифмы являются обратными величинами с совпадающими основаниями Для любого основания a, log_a(a^ x) = x и a ^{log_a(x)} = x. Эти тождества показывают, что логарифмическая и экспоненциальная с одинаковой базой отменяют друг друга. Примеры включают log(10^3) = 3, ln(e^{4.2}) = 4.2, 10^{log(1000)} = 1000 и e^{ln(9.6)} = 9.6. Основания должны совпадать для отмены.

Использование и тестирование соответствия базы Выражения типа 3 ^ {log_3(1.4)} упрощаются непосредственно до 1.4, ln(e ^ x) упрощается до x, а 10 ^ {log(3z)} упрощается до 3z. Несовпадающие основания не отменяются, как в случае с ln(10^x), который обычно отличается от x (например, при x = 1, ln(10) ≈ 2,3026). Выравнивание оснований необходимо для применения обратной зависимости.

Правила ведения журнала отражают правила экспоненты Поскольку логарифмы представляют собой экспоненты, они подчиняются параллельным правилам: log_a(1) = 0; log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; и log_a(x ^ n) = n·log_a x. Умножение становится сложением экспонент, деление превращается в вычитание, а степени становятся скалярными кратными. Эти правила справедливы для любого допустимого базового значения a.

Расширяем логарифмы с осторожностью Частное внутри логарифма становится разностью логарифмов; произведение становится суммой. Например, log((yz)/5) = log y + log z − log 5. Правило степени применимо только к одному фактору: log(5·2^t) = log 5 + t log 2, а не t·log(5·2). Круглые скобки помогают свести все факторы воедино.

Сжатие логарифмических сумм и разностей Разности логарифмов преобразуются в логарифм частного, а суммы - в логарифм произведения. Коэффициенты снова увеличиваются в виде экспонент: 2·ln(x ^ 2 − 1) становится ln((x ^ 2 − 1)^2). Например, ln(x + 1) + ln(x − 1) − 2·ln(x ^ 2 − 1) преобразуется в ln(((x + 1)(x − 1))/(x ^ 2 − 1)^2) = ln(1/(x^ 2 − 1)) после отмены (x + 1)(x − 1) = x^ 2 − 1.

Решение экспоненциальных уравнений путем регистрации обеих сторон Выделите экспоненциальный член, возьмите логарифмы, запишите экспоненты и решите алгебраически. Если 5· 2 ^{x+1} = 17, разделите на 5, возьмите логарифм, используйте степенное правило для x + 1, распределите, соберите слагаемые и решите для x ≈ 0,765. Круглые скобки гарантируют, что весь показатель степени умножит логарифм основания.

Разные базы с каждой стороны: Собирайте и решайте Для 2 ^ {2x − 3} = 5 ^ {x − 2} возьмем логарифмы, отбросим экспоненты с помощью степенного правила, распределим и сгруппируем x членов. Разложим x на множители и разделим, чтобы выделить его. Одновременная оценка полного выражения повышает точность вычислений, давая приблизительно x ≈ 5,106.

Удобство естественного логарифмирования с использованием электронных экспонент Когда присутствует e, естественные логарифмы упрощают действия, потому что ln (e) = 1. Для уравнения типа e ^ {-0,05t} = (3/5)· e ^ {0,2 t} возьмите ln с обеих сторон, разделите произведения, используя правила ln, запишите показатели степени и сгруппируйте t членов. Решите для t численно после упрощения.

Возведите в степень, чтобы освободить переменные от логов Сначала выделите логарифмическое выражение, затем примените соответствующую базу в качестве экспоненты к обеим сторонам, чтобы логарифмическая и экспоненциальная функции были отменены. Для 2·ln(2x + 5) − 3 = 1 выделите ln(2x + 5), возведите в степень, чтобы получить 2x + 5 = e ^ 2, и решите для x. Всегда проверяйте, чтобы в решении логарифмические аргументы были положительными, чтобы избежать появления посторонних корней.

Несколько логов приводят к алгебраическим уравнениям и проверкам При log(x + 3) + log(x) = 1 возведение в степень по основанию 10 превращает сумму логарифмов в произведение: (x + 3) · x = 10. Решите квадратичную задачу и отклоните любое решение, которое делает логарифмический аргумент неположительным, отбросив x = -5 и сохранив x = 2.. Эквивалентный способ заключается в том, чтобы сначала объединить журналы, а затем увеличить их в геометрической прогрессии.

Время достижения цели с дискретным ростом Смоделируйте сложный рост как A(t) = A_0·(1 + r)^t. Чтобы получить 2000 долларов с 1600 долларов при 6,5% годовых, разделите на 1600, возьмите ln, уменьшите t и решите, что t = ln(5/4)/ln(1,065) ≈ 3,54 года. Работают как естественные, так и обычные журналы.

Время удвоения зависит только от скорости роста При ежедневном росте на 12% P(t) = A·1,12^t удваивается, когда 2A = A·1,12^t, что дает t = ln 2 / ln 1,12 ≈ 6,12 дней. Начальная сумма отменяется, показывая, что время удвоения не зависит от начального размера. Это следует непосредственно из свойств журнала.

От времени удвоения до коэффициента роста и постоянной скорости Если численность населения удваивается за 15 минут, то b ^{15} = 2, таким образом, b = 2 ^{1/15} ≈ 1,047294. Дискретная модель y = 350·b ^ t и непрерывная модель y = 350·e ^ {rt} эквивалентны при r = ln 2/15, поскольку b = e ^ r. Запись e^{(ln 2/15)t} показывает, что оно равно 2^{t/15}.

Период полураспада и радиоуглеродное датирование с помощью непрерывного распада Период полураспада H означает, что r = ln(1/2)/Ч при A(t) = A_0·e^{rt}. Для углерода-14 с H = 5750 лет, r = ln(1/2)/5750. Если масса образца упадет с 200 г до 40 г, решите 40 = 200·e ^ {rt}, чтобы получить t ≈ 13 351 год, что соответствует чуть более чем двум периодам полураспада.

Решение задач в линейных системах: замена и исключение Решение удовлетворяет всем уравнениям одновременно. Выделите переменную и замените ее, или масштабируйте уравнения, чтобы выровнять коэффициенты и исключить переменную. Для 3x − 2y = 4 и 5x + 6y = 2 оба метода дают результат x = 1, y = -1/2, соответствующий пересечению линий.

Системы без решения и с бесконечным числом решений Параллельные прямые с одинаковыми наклонами, но разными точками пересечения несовместимы, что после устранения алгебраически рассматривается как противоречие, например, 0 = 11. Пропорциональные уравнения описывают одну и ту же прямую, что приводит к тождествам типа 18 = 18 и бесконечному множеству решений. Графики показывают непересекающиеся параллели и совпадающие линии.

Речные течения: Скорости складываются и вычитаются Запланируйте заплывы вверх и вниз по течению с указанием расстояния, скорости и времени. При скорости лодки 6 миль в час и текущем r время равняется: 10/(6 − r) = 30/(6 + r). При расчете знаменателей и решении задачи получается r = 3 мили в час; при желании общее время в пути можно заменить обратной заменой.

Смеси: Сохраняйте компоненты с помощью таблицы Отследите количество растворенного вещества, воды и общий объем каждого раствора. Сравните общее количество растворенного вещества до и после смешивания: 0,06х + 0,01·70 = 0,025 (70 + х), растворите х = 30 литров 6%-ного отбеливателя. Уравнение для воды становится избыточным, как только растворенное вещество и общий объем сохраняются.

Рациональные функции: асимптоты, дыры и пересечения Горизонтальные асимптоты получаются из начальных членов; вертикальные асимптоты получаются там, где знаменатель равен нулю после упрощения. Общие множители отменяются, чтобы создать отверстия; значение y отверстия определяется из упрощенного выражения. Например, упрощение 3(x − 2)(x + 2)/[(x + 5)(x − 2)] показывает отверстие при x = 2, вертикальную асимптоту при x = -5 и горизонтальную асимптоту при y = 3; x-пересечения происходят при нулевых значениях числителя это не сводит знаменатель к нулю.

Горизонтальные асимптоты по степени сравнения Если степень в числителе меньше, чем в знаменателе, то y → 0 (нижний предел). Если степени равны, то асимптота представляет собой отношение старших коэффициентов. Если степень в числителе превышает степень в знаменателе, горизонтальной асимптоты нет (функция растет неограниченно). Примеры проверок подтверждают эти случаи.

Функции объединения, компоновки и инвертирования Функциональные операции выполняются в соответствии с определениями: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), (fg)(x) = f(x)g(x) и (f/g)(x) = f(x)/g(x); значения могут быть считаны из формул, графиков или таблиц. Композиция применяет функции наизнанку (g∘f)(x) = g(f(x)) и, как правило, некоммутативна; разложите, поместив внутреннее выражение в виде g и позволив f воздействовать на поле. Обратная функция отменяет исходную, отображает ее график по y = x, удовлетворяет f (f ^ {-1} (x)) = x и существует только в том случае, если тест на горизонтальную линию пройден. Найдите обратные значения, поменяв местами x и y и решив, при этом области и диапазоны меняются ролями; f ^ {-1}(x) обозначает обратное, а не обратное 1 /f (x).