Лекция 1. Элементы теории множеств

Основы анализа с помощью теории множеств Курс высшей математики начинается с основных основ математического анализа. Первые темы включают элементы теории множеств, числовой ряд, последовательности и пределы, с акцентом на примеры и объяснения. Многие строки с доказательствами намеренно опущены, поскольку они не являются существенными, что позволяет сосредоточить внимание на основных идеях. Теория множеств сформировалась как строгий фундамент в 19 веке для поддержки новых результатов в математике.

Наборы, элементы и неуместность порядка Множество — это совокупность элементов, и значение имеет только принадлежность - элемент либо принадлежит, либо нет. Элементы могут быть разнородными; их природа не имеет отношения к принадлежности к набору. Для конечных множеств порядок перечисления элементов не имеет значения. Натуральные числа обозначаются как 1, 2, 3, ..., а символ, подобный n, может обозначать произвольное натуральное число.

Подмножества, включение и равенство множеств Одно множество является подмножеством другого, если каждый элемент первого входит во второе. Логические кванторы, такие как “для всех” и “существует”, формализуют эти утверждения. Два множества в точности равны, когда каждое из них включено в другое.

Визуализируются объединение, пересечение и различие Основные операции над множествами включают объединение, пересечение и разность A \ B. Схематические изображения на плоскости помогают визуализировать эти области и их перекрытия. Непересекающиеся множества имеют пустые точки пересечения, и в таких случаях используются обозначения. Эти представления разъясняют, как элементы собираются или исключаются при выполнении каждой операции.

Алгебраические законы операций с множествами Объединение и пересечение являются коммутативными и ассоциативными, что позволяет использовать гибкий порядок и не использовать круглые скобки. Они удовлетворяют законам распределения, распараллеливая арифметические модели, такие как распределение пересечений по объединениям. Эти законы распространяются на конечные и даже бесконечные семейства, что позволяет использовать краткие обозначения для индексированных объединений и пересечений.

Мощность и взаимно однозначное соответствие Мощность конечного набора - это количество его элементов; элементы могут быть перечислены как a1, ..., an. Один набор является более мощным, чем другой, если в нем больше элементов, и одинаково мощным, если они имеют одинаковый размер. Равная мощность определяется взаимно однозначным соответствием между элементами - отношением эквивалентности, которое играет центральную роль в сравнении размеров наборов.

Счетимость и минимальная бесконечность При бесконечном сравнении используется взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Целые числа могут быть упорядочены, что показывает их счетность. Каждое подмножество счетного множества является либо конечным, либо счетным; четные числа показывают, что не существует бесконечности, меньшей, чем счетная. Таким образом, счетная бесконечность - это минимальная бесконечная мощность.

Перечисление счетных объединений Конечное объединение счетных множеств остается счетным. Даже счетное объединение счетных множеств является счетным, если расположить элементы с двойными индексами и пересечь их по диагонали. Эта схема дает явное перечисление по всей коллекции.

Наборы мощности и все более широкие возможности Множество мощностей P(A) - это множество всех подмножеств A, включая пустое множество и само A. Для набора из трех элементов все подмножества могут быть перечислены явно; как правило, набор мощностей строго больше исходного набора. Как для конечных, так и для бесконечных случаев совокупность всех подмножеств имеет большую мощность, чем само множество. Таким образом, при выполнении операции степенного набора количество бесконечностей увеличивается без ограничений.

От минимальной до неограниченной мощности Счетная бесконечность минимальна среди бесконечных величин, в то время как операция набора мощности показывает, что максимальной бесконечности не существует. Помимо счетной, в градуированной иерархии отображаются большие мощности. Следующий материал посвящен кардинальным числам и, в частности, множеству действительных чисел.