Непрерывное время превращает динамическую оптимизацию в дифференциальные уравнения Переход от дискретного к непрерывному времени заменяет разностные уравнения дифференциальными уравнениями и интегралами по времени. Теория оптимального управления (Понтрягин) становится удобным методом, контрастирующим с инструментами дискретного времени, такими как Лагранж, Кун‑Такер или Гамильтон–Якоби–Беллман. Несмотря на различную математику, основной результат отражает дискретное время: зависимость Эйлера от потребления теперь записывается в виде дифференциального уравнения.
Происхождение ракетной тяги и экономическая аналогия Оптимальное управление возникло в результате вычисления тяги ракеты в течение длительного времени, при этом тяга используется в качестве элемента управления, а скорость - в качестве состояния. Для выхода на орбиту требуется точная конечная скорость: слишком высокая уходит, слишком низкая возвращается. Решения, связанные с потреблением и сбережениями, имеют общую структуру, при которой активы являются состоянием, а потребление – контролем, а конечное ограничение отражает состояние орбиты. На горизонте планирования сохранение положительных активов является неоптимальным, поскольку за счет их потребления можно было бы повысить полезность, что закрепило бы экономическое конечное условие.
Пожизненная полезность, дисконтирование и ограничение бюджета потока Пожизненная полезность − это интеграл от времени 0 до бесконечности от мгновенной полезности, дисконтированной по e ^ {-pt}. Активы a приносят доход r, трудовой доход равен w при неэластичном предложении рабочей силы на единицу, а потребление c связано с использованием ресурсов. Динамика активов соответствует ȧ = ra + w − c: сбережения накапливаются в активах, когда доход превышает потребление, и уменьшаются, когда потребление становится выше. Домохозяйство стремится к оптимальному потреблению и соответствующему распределению активов с течением времени.
Отсутствие Понци и трансверсальность определяют поведение терминала Финансовая целесообразность требует, чтобы текущая стоимость активов была неотрицательной, что исключает долг, который растет быстрее, чем доходность, используемая для его дисконтирования. Оптимальность подтверждает это: дисконтированная стоимость активов должна стремиться к нулю, поскольку остаточное богатство на горизонте повысило бы полезность, если бы оно было использовано. Вместе с начальным уровнем активов это конечное ограничение задает граничные условия для динамической системы.
Гамильтонова механика для оптимального управления С помощью состояния x, элемента управления c, цели f(t, x, c) и динамики g(t, x, c) определим гамильтониан H = f + λg. Необходимыми условиями являются ∂H/∂c = 0, ẋ = ∂H/∂λ = g, and λ = −∂H/∂x, наряду с условием трансверсальности. Совместное состояние λ ‑ это теневое значение состояния, которое со временем корректируется таким образом, что предельный выигрыш от изменения состояния точно компенсируется уменьшающимся значением дополнительного состояния.
Применение этого принципа к потреблению–экономии Для H = e^{−pt} u(c) + λ(w + r a − c) условия дают u'(c) e^{−pt} = λ, θ = w + r a − c и λ = −r λ. По мере того, как активы приносят проценты, теневая стоимость активов падает с той же скоростью, сохраняя баланс межвременных компромиссов. Условие трансверсальности должно выполняться, и будущие траектории w и r рассматриваются как известные в рамках совершенного предвидения.
Вывод уравнения Эйлера с непрерывным потреблением времени Логарифмическое дифференцирование u'(c) e^{−pt} = λ и использование λ/λ = −r дает ċ/c = (r − ρ)/[−c u"(c)/u'(c)]. При изоупругой полезности u(c) = c^{1−θ}/(1−θ) это становится θ/c = (r − ρ)/θ. Потребление растет, когда процентная ставка превышает нетерпеливость, сокращается, когда преобладает нетерпеливость, и остается неизменным, когда r = ρ. Более высокий θ (более низкая межвременная эластичность замещения) ослабляет реакцию роста потребления на заданный r − ρ.
От общей динамики к конкретным путям Система состоит из уравнения Эйлера для c и уравнения накопления активов для a. Начальный уровень активов и условие трансверсальности выбирают единственный оптимальный путь из общего решения. Решения в замкнутой форме могут быть громоздкими или недоступными для нелинейных систем, что требует применения численных методов, линеаризации или качественного анализа фазовых диаграмм, как в рамках Рамсея‑Касса‑Купманса.