Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Судебный процесс начинается: Определяющие факторы определяют исход ночи Исход остается неопределенным и зависит от действий, предпринятых сегодня вечером. Вас ждет серия тестов, и первая задача - определить их. Выполнение заданий 2 и 3 открывает путь к предстоящим тестам и экзаменам.

Основы матрицы: Элементы, индексы, диагонали Матрица - это прямоугольная таблица чисел со строками и столбцами, содержащими главную и второстепенные диагонали. Элементы обозначаются как a_ij, где i - строка, а j - столбец. Определитель - это скаляр, связанный с квадратной матрицей, обозначаемый вертикальными черточками или det(A). Для матрицы n×n определитель имеет порядок n.

Определитель 2×2: Главный минус второстепенный Для порядка 2 умножьте элементы на главной диагонали и вычтите произведение на второстепенной диагонали. В общем случае: a11·a22 − a21·a12. Пример [1 3; 4 5]: 1·5 − 3·4 = -7, таким образом, возможны отрицательные значения. Определитель - это просто число, полученное с помощью этого правила.

Определитель 3×3 с помощью метода треугольника Расширьте идею диагонали 2 × 2, сформировав три произведения вдоль главной диагонали и двух параллельных ей траекторий и просуммировав их. Сформируйте три аналогичных произведения вдоль второстепенной диагонали и ее параллелей и вычтите их сумму. Этот визуальный шаблон “треугольник” устанавливает фиксированный порядок умножения без какой-либо двусмысленности. Применяя его к примеру, мы механически получаем единственный числовой результат.

Расширение кофактора по строкам или столбцам Определитель может быть расширен по любой строке или столбцу путем суммирования каждого элемента с его сомножителем. Сомножитель равен (-1) ^(i+j), умноженный на минор, а минор − это определитель порядка n-1, полученный путем удаления строки и столбца элемента. Расширение по первой строке сводит задачу к нескольким определителям размером 2×2 с соответствующими знаками. Для примера, это вычисление дает результат 1, соответствующий результату, полученному методом треугольника.

Ранг матрицы: Максимальный ненулевой минор Ранг - это количество линейно независимых строк или столбцов, что эквивалентно максимальному порядку ненулевых младших значений. Обозначение включает ранг A, r(A) или rg A. Нулевая матрица имеет ранг 0; любая матрица с одной строкой или одним столбцом имеет ранг 1. Ранг строки равен рангу столбца.

Поиск ранга с ограниченными младшими Проверьте миноры в порядке возрастания: любой ненулевой минор первого порядка имеет ранг не ниже 1. Проверьте 2 × 2 минора; если один из них исчезает, попробуйте другой, пока не появится ненулевой минор, например,, 1·6 − 3·4 = -6 ≠ 0, присвоив ранг не ниже 2. Затем вычислите определитель 3×3; ненулевое значение (-6 в примере) определяет ранг в 3. Для матрицы 3×3 нет четвертого порядка для проверки, поэтому процесс на этом останавливается.

Определение ранга с помощью исключения по Гауссу Преобразуйте матрицу в форму эшелона строк, используя элементарные операции: поменяйте местами строки, сложите или вычтите кратные значения и измените масштаб строк. Создайте ведущие вниз строки с нулями под ними. Для примера, вычтите кратные значения, чтобы обнулить записи, поменяйте местами, чтобы восстановить лестницу, и масштабируйте, чтобы получить опорные точки. Подсчет трех ненулевых строк дает рейтинг 3; нулевая строка понизит рейтинг.

Согласование методов и следующих шагов Подход с ограниченным минором и исключение по Гауссу дают одинаковый ранг в примере. Тщательная арифметика предотвращает ошибки при преобразовании или оценке миноров и определителей. Когда определитель проверен двумя методами и ранг установлен, первое испытание считается завершенным. Итоги прошедшей ночи позволяют перейти к следующим испытаниям, которые ждут нас впереди.