Числа и вычисления. Считаем без калькулятора. Повторение.

Ознакомьтесь с основами арифметики без калькулятора Обновите правила сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел, десятичных и обыкновенных дробей. Вернитесь к абсолютным значениям и операциям с отрицательными числами и смешанными знаками. Попрактикуйтесь в умножении в большую сторону, делении в большую величину и масштабировании на 10, 100, 1000. Уверенно работайте с правильными и неправильными дробями, смешанными числами и их преобразованиями.

Основы работы с натуральными числами и дробями Для счета используются натуральные числа: 1, 2, 3 и так далее. У обыкновенной дроби числитель находится над знаменателем, например, 17/21. Правильная дробь имеет числитель меньший, чем знаменатель; неправильная дробь имеет числитель больший, чем знаменатель.

От неправильных дробей к смешанным числам Преобразуйте неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель: частное становится целой частью, а остаток образует числитель поверх исходного знаменателя. Например, 28/5 = 5 и 3/5, потому что 28 ÷ 5 = 5, остаток 3. В качестве альтернативы, разложите числитель на число, кратное знаменателю плюс остаток, например, 28 = 25 + 3, в результате чего 28/5 = 25/5 + 3/5 = 5 + 3/5.

От смешанных чисел к неправильным дробям Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель, сохранив тот же знаменатель. Пример: 3 2/5 становится (3×5 + 2)/5 = 17/5. Любое целое число может быть записано в виде дроби со знаменателем 1, например, 243 = 243/1.

Десятичные дроби: чтение и преобразование Дробь, подобная 3/10, равна десятичному значению 0,3. Запишите десятичное число как дробь, прочитав его начальное значение: 3,17 - это "три и 17 сотых" = 317/100. Дробь дает конечную десятичную дробь только в том случае, если ее знаменатель делится на 2 и 5; масштабируйте до степени десяти или делите в длину, чтобы получить десятичную дробь.

Сложение и вычитание натуральных чисел по столбцам Расположите слагаемые или убавления и вычитания в столбце, выровняв единицы, десятки и сотни. Складывайте справа налево, перенося, когда сумма превышает 9. Вычитайте справа налево, заимствуя, когда цифра слишком мала, и следя за тем, чтобы каждое промежуточное различие было неотрицательным.

Точное сложение и вычитание десятичных дробей Выровняйте десятичные точки и приведите в соответствие количество цифр после запятой, добавляя при необходимости нули. Вычисляйте, как с целыми числами, затем поместите десятичную дробь в результат непосредственно под выровненными точками. Когда речь идет о целом числе, рассматривайте его как имеющее десятичную точку в конце и добавляйте конечные нули для выравнивания.

Сложение и вычитание дробей с помощью общего знаменателя Используйте наименьший общий знаменатель для сложения или вычитания дробей. Найдите его с помощью дополнительных множителей или разложения знаменателей на множители (например, 18 = 2×3×3 и 24 = 2×2×2×3, что дает цифру 72). Преобразуйте каждую дробь в ЖК-дисплей, объедините числители и уменьшите или извлеките целую часть, если результат будет неправильным.

Упрощение суммирования и работа со смешанными числами Измените порядок операций, чтобы сначала объединить одинаковые знаменатели, что упростит вычисления, например, 7/15 − 2/15 + 1/4. Для смешанных чисел либо преобразуйте все слагаемые в неправильные дроби, либо работайте отдельно с целыми и дробными частями, используя 1 в качестве дробной части необходимого знаменателя. Оба метода совпадают, но преобразование в неправильные дроби часто позволяет избежать путаницы.

Абсолютное значение как расстояние от нуля Абсолютное значение |a| равно a, когда a ≥ 0, и −a, когда a < 0. Например, значения, |-7| + |-4| = 11 и |12| − |-3| = 9., подобные |10| = 10, |0| = 0, и |-1,5| = 1,5, иллюстрируют это правило.

Сложение и вычитание чисел со знаками Сумма двух отрицательных чисел отрицательна; сложите их абсолютные значения. При использовании разных знаков сохраняйте знак члена с большим абсолютным значением и вычитайте величины, как в случае 28 + (-14) = 14. Рассматривайте вычитание как сложение противоположного, так что 10 − (-2) = 12; в общем, одни и те же знаки означают сложение величин и сохранение знака, разные знаки означают вычитание величин и сохранение знака большей по величине величины.

Длинное умножение: Частичные произведения выравниваются по месту Умножьте один множитель на каждую цифру другого числа справа налево, образуя частичные произведения. Сдвигайте каждое новое частичное произведение на одну позицию влево относительно предыдущего, при необходимости заменяя единицы измерения десятками. Просуммируйте частичные произведения, чтобы получить конечный результат.

Умножение чисел, заканчивающихся нулями Изначально игнорируйте конечные нули и умножайте значащие части, используя метод long. Подсчитайте общее количество нулей в обоих коэффициентах и добавьте это количество нулей к результату. Это упрощает работу без отслеживания нулей на промежуточных этапах.

Умножение десятичных дробей и установка десятичной точки Умножьте, как если бы числа были целыми, без учета десятичных знаков. Поместите десятичную дробь в произведение, чтобы количество дробных знаков равнялось сумме цифр после десятичных знаков в обоих множителях. Если в произведении слишком мало цифр, вставьте начальные нули, чтобы получить требуемое количество.

Быстрое масштабирование: Умножьте на 0,1, 0,01 или 0,001 При умножении на 0,1, 0,01 или 0,001 десятичная точка сдвигается влево на один, два или три знака соответственно. Предположим, что десятичная точка целого числа находится в конце перед сдвигом. При необходимости дополните начальными нулями и удалите все незначительные нули, которые были созданы в конце.

Эффективное умножение дробей Умножьте числители и знаменатели вместе, отменив все общие множители перед умножением. Считайте целые числа дробями со знаменателем 1 и сначала преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби. Преобразуйте результат, например, 1/10, в десятичную дробь, когда это удобно, или извлеките целую часть из неправильного результата.

Умножение на отрицательные числа При знаковых множителях два отрицательных значения дают положительное произведение, а при противоположных знаках - отрицательное. Умножьте абсолютные значения и примените правило знака соответственно. Тот же принцип применим к дробям и десятичным разрядам, например, 4,7 × (-0,5) = -2,35.

Длинное деление целых чисел Выполните деление в столбец, взяв наименьшую левую часть делимого, которая должна быть не меньше делителя, разделите, вычтите и уменьшите следующую цифру. Повторяйте, пока не будут обработаны все цифры, вставляя нули в частное, если уменьшаемая часть слишком мала. Остаток всегда должен быть меньше делителя на каждом шаге.

Методы десятичного и дробного деления При десятичном делении на целое число не обращайте внимания на десятичную дробь во время выполнения шагов и вставляйте ее в частное, когда заканчивается делимая целым числом часть. При делении на 10, 100 или 1000 десятичная дробь сдвигается влево на один, два или три знака. Чтобы разделить на десятичную дробь, переместите десятичную дробь вправо как в делимом, так и в делителе на одинаковое количество позиций, чтобы получить целое число, а затем разделите. Разделите дроби, умножив на обратную величину и упростив, отметив, что 0, деленное на ненулевую дробь, равно 0. При делении со знаком равные знаки дают положительный результат, а разные знаки дают отрицательный результат.