Числа как язык количества - от клинописи до современных цифр Числа служат основной математической концепцией для количественной оценки, сравнения и нумерации объектов и их частей. В ранних записях представлены шумерские клинописные знаки на глиняных табличках, позже унаследованные вавилонянами, с сохранившимися таблицами преобразования единиц измерения. Исторические системы счисления охватывают египетские иероглифы и древнерусскую систему счисления до эволюции цифр: индийскую (9 в.), арабскую (10 в.), испанскую (976 г.), готическую (1400 г.), ренессансную, французскую (18 в.) и современные формы.
Теория чисел возникает из арифметики По мере разработки правил выполнения операций и изучения их свойств арифметика развивалась и выявляла закономерности, обусловленные этими операциями. Числа были классифицированы на четные и нечетные, простые и составные, что привело к появлению области, которая сейчас называется теорией чисел (высшая арифметика) и сосредоточена на целых числах и базовых объектах. Его инструментарий включает в себя элементарные, алгебраические, геометрические, аналитические и вероятностные методы; приложения включают криптографию и анализ алгоритмов. Темы включают в себя делимость, числа Фибоначчи, построение магических квадратов, алгоритмы для GCD и LCM, а также малую теорему Ферма.
От натуральных чисел к целым и рациональным Математика начинается с натуральных чисел 1, 2, 3, ...; сложение и умножение остаются в пределах натуральных чисел, а вычитание и деление - нет. Сложение 0 и отрицательных значений дает целые числа, замкнутые при сложении, вычитании и умножении, хотя частное от двух целых чисел необязательно должно быть целым числом. Введение рациональных чисел m/n с целым числом m и натуральным числом n ≠ 0 позволяет сформировать все частные, и каждое целое число равно m/1. Выполнение четырех арифметических операций с рациональными числами (кроме деления на ноль) остается в пределах рациональных чисел, и любое значение m / 10 ^ k может быть записано в виде конечной десятичной дроби, такой как 3,27, -2,3 или 2/5 = 0,4.
Рациональное деление Дает конечные или повторяющиеся десятичные дроби Некоторые рациональные числа не могут быть записаны в виде конечных десятичных дробей; примеры включают 1/3, -2/9 и 3/7 с бесконечным расширением. Длинное деление показывает, что при делении на n либо остаток становится равным нулю, либо остатки повторяются, а повторяющиеся остатки приводят к повторению цифр в частном. Например, 27/11 создает повторяющийся блок 45, так что 27/11 = 2.(45). Любое целое число или конечная десятичная дробь могут рассматриваться как повторяющаяся десятичная дробь с точкой 0, каждое рациональное число имеет повторяющееся десятичное представление, и каждая повторяющаяся десятичная дробь соответствует рациональной дроби.
Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби и замена форм с 9 точками Чтобы преобразовать десятичную дробь с неповторяющейся частью и повторяющейся точкой, умножьте число в степени 10 для выравнивания повторений и вычтите, чтобы выделить целочисленную разницу. Для x = 0,2(18), с одной цифрой предпериода и двузначным периодом, 1000x − 10x = 218 − 2 дает x = 216/990 = 12/55. То же самое рассуждение показывает, что 2.(9) = 3. Любая конечная десятичная дробь может быть записана с точкой 0 или с точкой 9; по соглашению, используйте конечную форму или точку, отличную от 9, вместо обозначения с 9 точками.