Общая схема исследования функции для построения её графика. Урок 8.4.

Основное внимание уделяется применению производных для анализа функций и построения графиков. В предыдущих видео рассматривались такие темы, как монотонные интервалы, экстремумы, вогнутость функций и точки перегиба. Цель сегодняшнего обсуждения - закрепить полученные знания, изучив системный подход к анализу функций.

Исследование свойств функции перед построением Графика Понимание теории и обоснование построения графиков функций предполагает сначала изучение их свойств. Это включает в себя определение области действия функции, проверку на четность или нечетность, определение периодичности (особенно в тригонометрических функциях), нахождение точек пересечения с осями, анализ интервалов монотонности и экстремумов, а также областей вогнутости.

Определение предметной области: Основа функций Начальным шагом является определение области действия функции, которая состоит из всех возможных значений, которые могут быть присвоены ее независимой переменной. Для многих полиномиальных функций, таких как y = x3 - 6x2 + 9x - 3, нет ограничений на x; следовательно, она охватывает все действительные числа от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности.

Выявление ограничений в доменах При работе с рациональными выражениями или корнями, включающими четные степени или логарифмы, должны соблюдаться особые условия, касающиеся неотрицательности и того, что знаменатели не равны нулю. Эти ограничения помогают установить допустимый диапазон, в котором эти типы функций работают без неопределенного поведения.

Использование симметрии: Четные и нечетные функции "Четная" и "нечетная" классификации дают представление о симметрии графиков — четная функция отражается по оси y, а нечетная - по исходным координатам. Распознавание этих характеристик упрощает построение графиков, поскольку только половина из них может потребовать детального анализа, прежде чем результаты будут отражены на соответствующих осях.

Распознавание периодичности для эффективного построения графиков "Периодическое" поведение указывает на повторяющиеся паттерны в пределах определенных длин вдоль горизонтальных линий; таким образом, понимание этого позволяет нам копировать сегменты, а не перерисовывать целые кривые повторно при эффективном построении графиков в больших диапазонах, сдвигая известные участки по горизонтали в зависимости от длины периода T .

.Поиск пересечений между графиком кривой и координатными осями требует решения уравнений, полученных путем установления равной каждой оси соответственно — для эффективного определения нулей мы часто прибегаем к обратному поиску с помощью методов подстановки, если прямые решения оказываются сложными из-за уровней сложности, связанных с самими вычислениями!

Чтобы построить график функции Y = X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 3, мы начнем с определения ее области. Область определяется как все действительные числа в диапазоне от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Это связано с полиномиальной природой функции, которая допускает любое входное значение без ограничений.

Чтобы определить четность или нечетность функции, мы проверяем определенные равенства. Для четных функций F(-x) должно быть равно FX; для нечетных функций F(-x) должно быть -FX. Данная функция анализируется путем подстановки в нее -X и упрощения для сравнения с исходной функцией. После того, как расчеты показали, что эти две формы не эквивалентны, делается вывод, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Нахождение точек пересечения с осями Чтобы найти точки пересечения кубической функции с координатными осями, начните с установки значения y равным нулю. Для функции x3 - 6x2 + 9x - 3 решение для случая, когда она равна нулю, приводит к сложному кубическому уравнению. Первая точка пересечения находится в точке (0, -3), указывающей, где график пересекает ось y.

Построение графа и вычисление вершин Затем постройте графики для обеих функций: Y = x3 и Y = 6x2 - 9x + 3. Вычислите ключевые значения, такие как координаты вершин, используя формулы; здесь определено, что одна вершина находится приблизительно на (0,75, -0,375). Нанеся эти точки на соответствующие графики — кубический, выделенный зеленым цветом, и параболический, выделенный оранжевым, — вы можете визуализировать их пересечения.

Выявление Корней с Помощью Графического Анализа Анализ поведения вблизи определенных значений x позволяет выявить множественные пересечения между кривыми в пределах определенных интервалов: от [0-1], [1-2] и [3-4]. Каждый интервал указывает на возможные корни исходного уравнения на основе графического анализа, не требуя точных вычислений значения каждого корня, но подтверждая существование трех различных решений в этих диапазонах.

Определение критических точек с помощью производных инструментов Чтобы проанализировать монотонность функции и определить ее экстремумы, сначала найдите производную. Для функции f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 3 вычислите ее производную, чтобы получить f'(x) = 3x2 - 12x + 9. Установка этого значения равным нулю позволяет выявить критические точки при x=1 и x = 3.

Определение поведения функции в интервалах Вычислите интервалы вокруг критических точек, подставив значения в производную. Знак f' указывает, увеличивается или уменьшается функция: положительный результат от (-∞,1), отрицательный результат от (1,3) и снова положительный результат от (3,+∞). Это показывает, что в точке (1,1) есть максимум, а в точке (3,-3) - минимум.

Суммирование интервалов монотонности Анализ завершается выявлением монотонных интервалов: функция увеличивается на (-∞,1], достигает максимума на (1,1), уменьшается на [2], пока не достигнет минимума на (3,-3), затем снова увеличивается на (+∞). Таким образом, мы резюмируем, что между этими ключевыми координатами лежат существенные изменения в поведении нашего кубического многочлена.

Поиск критических точек с помощью анализа второй производной Чтобы проанализировать вогнутость функции и точки перегиба, мы сначала находим ее вторую производную. Начиная с исходной функции x3 - 6x2 + 9x - 3, мы выводим ее, чтобы получить F' = 3x2 - 12x + 9, а затем снова дифференцируем, чтобы получить F" = 6x - 12. Установка этого значения равным нулю показывает критическую точку при x = 2.

Определение поведения вогнутости и координат точки перегиба Затем мы оцениваем интервалы вокруг нашей критической точки, используя тестовые значения во второй производной. Для (-∞,2) подстановка значения, подобного нулю, дает отрицательный результат, указывающий на то, что функция вогнута вниз; для (2,+∞) тестирование с тремя дает положительные результаты, показывающие, что функция вогнута вверх. Изменение знака F" с отрицательного на положительный при x= 2 подтверждает наличие точки перегиба; вычисление координат показывает ее как (2,-1). Таким образом, мы установили поведение: от минус бесконечности до тех пор, пока две функции не будут направлены вверх, а после двух они изгибаются вниз.

Понимание функциональных характеристик Область действия функции простирается от отрицательной до положительной бесконечности, что указывает на отсутствие ограничений для переменной X. Анализ показывает, что функция не является ни четной, ни нечетной и не имеет периодичности. Определены ключевые точки пересечения с осями: от 0 до 1, от 1 до 2 и примерно от 3 до 4.

Анализ монотонности и перегибов Монотонные интервалы показывают увеличение от отрицательной бесконечности до точки один, где максимум приходится на одиннадцать; затем они уменьшаются, пока не достигнут минимума в три, а затем снова увеличиваются до положительной бесконечности. Точки перегиба указывают на изменения вогнутости — кривизна вверх до двух, а затем вниз после этой точки.

Построение графика Вычисление определенных значений помогает визуализировать поведение графика вблизи критических точек, таких как (-1,-19), которые сначала показывают крутой спуск, а затем пересекают ось Y в точке (-3). По мере приближения X к различным ключевым значениям (например, между нулем и единицей) дальнейшие оценки подтверждают восходящие тенденции, ведущие от максимумов вниз к минимумам и, в конечном счете, резко превышающие пять.