Моделирование пучка Эйлера–Бернулли с помощью символьного Python Цель состоит в том, чтобы сформулировать модель пучка Эйлера–Бернулли и упростить вычисления с использованием символьного языка Python вместо ручных манипуляций с интегралами. Предварительные требования включают энергетические методы, прочность материалов и механику грунтов для бакалавриата, а также Anaconda Navigator и Jupyter Notebook для символьной части. Базовая конструкция представляет собой простую балку с равномерно распределенной нагрузкой q вдоль 0≤x≤L, модулем упругости E, моментом инерции I и площадью A.
Управляющее уравнение четвертого порядка и граничные условия Дифференциальное уравнение пучка имеет вид E I v""(x) − q = 0 при 0≤x≤L. Поскольку это четвертый порядок, основные граничные условия могут включать v и v', в то время как естественные условия включают v" и v"' через изгибающий момент M=E I v" и сдвиг V=E I v"". Для балки с простой опорой существенными условиями являются v(0)=0 и v(L)=0.
Неизвестная цель: Упругая кривая v(x) Решение краевой задачи позволяет получить функцию прогиба v(x), упругую линию балки. Эта функция отражает вертикальное смещение вдоль конструкции и определяет деформированную форму балки. Определение v(x) является центральной задачей модели.
Кинематические гипотезы: Плоские сечения, отсутствие деформации сдвига Деформация ограничена плоскостью x–y, а поперечные сечения после изгиба остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси. Точка, находящаяся на расстоянии y от нейтральной оси, перемещается вертикально на величину v(x) и горизонтально из-за вращения. При небольших поворотах tanθ≈θ=dv/dx, что дает горизонтальное смещение u(x,y)=-y dv/dx.
Последствия: Одномерное поле отклонения Вертикальное смещение любой точки равно смещению оси, поэтому v зависит только от x, а не от y. В направлении y нет деформаций, а продольная ось не изменяется по длине, что исключает осевую связь с изгибом. Знания v(x) достаточно, чтобы восстановить как вертикальное отклонение, так и горизонтальный сдвиг через u=−y v'.
Соотношения деформации и смещения при малых поворотах Исходя из u=−y v'(x), осевая деформация равна e_x=∂u/∂x=−y v"(x). Поскольку v не зависит от y, e_y=∂v/∂y=0. Деформация сдвига исчезает, y_xy=∂u/∂y+∂v/∂x=−v'(x)+v'(x)=0, что подтверждает гипотезу о плоских сечениях.
Определяющий закон и напряжение при изгибе В соответствии с обобщенным законом Гука единственной ненулевой составляющей напряжения является σ_x=E e_x=−E y v"(x). Все остальные компоненты напряжения равны нулю в рамках этой модели. Изгибающий момент определяется как M=E I v"(x), связывая кривизну с внутренними силами.
Функционал общей потенциальной энергии Энергия деформации становится U=(1/2)∫_0^L E I [v"(x)]^2 dx после использования ∫_A y^2 dA=I и интегрирования по объему. Внешняя работа распределенной нагрузки равна W=∫_0^L q(x) v(x) dx. Общий потенциал равен Π[v]=U−W, функционалу от v и его производных, который преобразует функции в скаляры и позволяет проводить анализ без непосредственного манипулирования дифференциальным уравнением.
Точечные нагрузки, моменты и скорректированные граничные условия Для зажатой балки с распределенной нагрузкой плюс точечное усилие P0 и точечный момент M0 при x=L внешняя нагрузка увеличивается на P0 v(L) и M0 v'(L). Зажим обеспечивает v(0)=0 и v'(0)=0. Естественные условия на свободном конце становятся Eiv"(L)=M0 и Eiv""(L)=P0.
Символьный рабочий процесс и практические задачи в Python Используйте выражение из учебника для v(x) равномерно нагруженной балки с простой опорой, замените его на Π[v] и вычислите интегралы символически на языке Python. Вычислите конкретные характеристики, такие как смещение наконечника, путем вычисления функции отклонения в интересующей точке. Постройте график σ_x(x,y)=−eyv"(x), чтобы наглядно представить изменение напряжений в x и y, и повторите аналогичные действия для случая зажатой балки.