Вы (Вероятно) Неправильно играли в Игру Жизни

Многие явления не поддаются нормальному распределению Многие измерения сводятся к среднему значению, но во многих системах происходит гораздо больше экстремальных событий, чем предсказывает обычная кривая. Степенные распределения имеют большие хвосты, которые охватывают порядки величины и могут доминировать над средними значениями с редкими выбросами. Без встроенного физического масштаба результаты не зависят от масштаба и крайне непредсказуемы. Понимание того, какой статистический режим управляет той или иной предметной областью, определяет разумные долгосрочные стратегии.

Распределение доходов осуществляется в соответствии со Степенным законом Парето Во многих странах число людей, получающих доход не ниже x, уменьшается в зависимости от степени x, а не по обычной кривой. На логарифмическом графике дополнительное распределение становится прямой линией с наклоном около -1,5. Каждое удвоение дохода уменьшает количество доходов примерно на 2^ 1,5 ≈ 2,8, что дает N(≥x) ≈ x ^-1,5. Сходные наклоны в разных странах указывают на общий механизм: степенной закон.

Аддитивная случайность приводит к нормальному поведению В игре с монетами, которая добавляет 1 доллар за выпадение орла более 100 раз, ожидаемая выплата составляет 50 долларов. Повторение таких аддитивных процессов сужает результаты до среднего значения, поскольку небольшие отклонения сводятся на нет. Колоколообразная кривая возникает, когда добавляется много независимых эффектов, как в случае с ростом. Для аддитивных миров средние значения являются надежными ориентирами.

Мультипликативные процессы порождают логарифмически нормальные хвосты Когда выплаты умножаются на 1,1 при выпадении орла и на 0,9 при выпадении решки за большое количество бросков, ожидаемый коэффициент за каждый бросок равен 1, но средняя выплата составляет всего около 0,61 доллара. Учет логарифмов преобразует произведение случайных факторов в сумму, показывая нормальное распределение в логарифмическом пространстве. Отрицательная сторона ограничена нулем, в то время как положительная сторона может увеличиваться на порядки, создавая асимметричную логарифмическую норму с длинным хвостом. Средние показатели сходятся, но типичные результаты могут быть намного ниже среднего.

Санкт-Петербургский парадокс и бесконечная дисперсия Игра с монетами, которая удваивает выплату до тех пор, пока первый выигрыш не достигнет бесконечного ожидаемого значения, потому что каждое возможное время остановки увеличивает ожидание на 1 доллар. Выплаты распределяются по всем шкалам с прямым наклоном -1 на логарифмическом графике, что означает, что вероятность выплаты x равна 1/x. Стандартное отклонение бесконечно, а средние значения по выборке растут по спирали по мере появления редких гигантов. Аналогичное массовое доминирование наблюдается в онлайн-сетях, где один сбой может повлиять на миллионы людей.

Когда Экспоненты отменяются, Возникают Степенные Законы В игре на удвоение выигрыши растут в геометрической прогрессии с увеличением количества бросков, в то время как вероятность того, что потребуется сделать такое количество бросков, уменьшается в геометрической прогрессии. Исключение промежуточной переменной приводит к степенному закону выплат. Землетрясения демонстрируют ту же структуру: частота событий экспоненциально уменьшается с увеличением магнитуды, но высвобождаемая энергия экспоненциально растет с увеличением магнитуды. Сочетание обоих факторов приводит к степенному распределению энергии землетрясений.

Фракталы и критичность Выявляют безмасштабную структуру Дерево результатов игры на удвоение аналогично самому себе: при увеличении изображения видны повторяющиеся узоры в меньших масштабах. Фрактальная геометрия аналогично проявляется в листьях, реках, легких и молниях, где размеры или длина соответствуют степенным законам. Магниты при температуре, близкой к температуре Кюри, образуют области с выровненными спинами всех размеров, причем размеры областей распределяются по степенному закону. Степенные законы и фракталы являются признаками систем, которым не хватает собственного масштаба.

Самоорганизующаяся критичность в лесах Вблизи критической точки локальные воздействия перерастают в общесистемные каскады, в результате чего небольшие причины вызывают масштабные последствия. Леса естественным образом приспосабливаются к этому состоянию: рост деревьев медленно приводит к накоплению топлива, молнии вызывают локальные ожоги, и возникают пожары всех масштабов, поскольку обратная связь поддерживает систему на уровне, близком к критическому. Одинаковые удары молнии могут вызывать небольшие ожоги или крупные пожары, в зависимости от текущей конфигурации, что приводит к степенному распределению масштабов пожара. Крупные пожары - это увеличенные версии небольших пожаров, а не результат особых причин.

Почему политика подавления приводит к обратным результатам Стратегия тушения каждого пожара приводит к накоплению топлива, что приводит к более редким, но гораздо более масштабным пожарам в лесах. Допуск большого количества небольших очагов возгорания или использование предписанных средств пожаротушения снижает риск возникновения стихийных бедствий, хотя восстановление после десятилетий тушения происходит медленно. Земная кора ведет себя аналогичным образом: бесчисленные мелкие землетрясения незаметно рассеивают напряжение, но случайное стечение обстоятельств может привести к лавинообразным разрушениям, которые перерастут в катастрофические землетрясения, подобные землетрясению в Кобе в 1995 году. В критических системах длительные периоды затишья не гарантируют безопасности.

Кучи песка и механика каскадов Попадание зерен на сетку приводит к лавинам всех размеров, что является признаком самоорганизующейся критичности и четкого степенного закона, когда осаждение происходит случайным образом. Нестабильность распространяется вдоль “пальцев” областей, близких к пороговым значениям, точно так же, как напряжение может каскадироваться через разломы, вызывая сильные землетрясения. Хотя в реальных песочницах беспорядок гораздо сильнее, игрушечная модель отражает универсальный механизм, лежащий в основе степенных каскадов. В критической ситуации поведение определяется грубыми чертами, а не микроскопическими деталями.

Универсальность: Одни И те же Законы В Разных Системах В критические моменты подробная микрофизика часто становится неактуальной, и различные системы делятся на несколько универсальных классов. Магниты, жидкости в критической точке, лесные пожары, песчаные бури, землетрясения, эпидемии и даже экологические и геномные закономерности проявляют степенное поведение. Человеческие системы отражают это: размеры городов, падение цен на акции, цитируемость в газетах и смертельные случаи на войне колеблются на порядки с большим отставанием. Экстремальные явления встречаются гораздо чаще, чем предполагает интуиция с нормальным распределением.

Вести правильную игру в мире, где действует закон силы Тяжелые последствия мешают планированию: страховщики должны назначать цену за редкие, разрушительные события, и невыполнение этого требования может привести к фатальным последствиям, как это было на примере лесного пожара в Калифорнии, обанкротившего небольшую компанию-перевозчика. Некоторые отрасли созданы с учетом законов власти — венчурный капитал, издательское дело и потоковое вещание, — где несколько успешных проектов приносят наибольшую прибыль, в отличие от ресторанов или авиакомпаний, которые зависят от стабильных средних показателей. Мультипликативная случайность сама по себе приводит к логнормальному распределению; истинные законы силы часто возникают из таких механизмов, как преимущественное присоединение, когда новые узлы непропорционально связаны с уже популярными, создавая сети, подобные Интернету, с наклонами, близкими к -2. В областях, где действует закон силы, рациональной стратегией является повторение, разумное принятие риска - упорство, а не последовательность, - потому что один невероятный успех может перевесить множество неудач.