Малая токовая петля в виде диполя; H становится потенциалом, где J=0 На расстояниях, значительно превышающих его размер, небольшая токовая петля действует как магнитный диполь. В областях, где отсутствует ток проводимости, curl H = 0, поэтому H можно записать как градиент скалярного потенциала. Этот скалярный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Это создает потенциальное описание наряду с обычным соленоидальным представлением о магнитостатике.
Скалярный дипольный потенциал соответствует векторно-потенциальной конструкции Скалярный потенциал магнитного диполя дает такое же Н-поле, как если взять векторный потенциал петли и скрутить его. Эквивалентность сохраняется в дипольном пределе, вводя эффективные магнитные заряды только в качестве математического приема. Этого описания потенциала недостаточно для произвольных петель, соприкасающихся с собственной областью поля. Это мотивирует конструкцию, которая восстанавливает потенциальную возможность без изменения тока.
Связанные и несвязанные тестовые контуры Разделяют пространство Любой воображаемый контур L1, не соединяющий ток, имеет нулевую циркуляцию H и находится в потенциальном поле. Контур L2, по которому проходит ток, имеет циркуляцию, равную этому току, и поле вокруг него непотенциально. Таким образом, одно и то же физическое поле является потенциальным или нет, в зависимости от того, связан ли контур с током. Задача состоит в том, чтобы согласовать это с описанием скалярного потенциала.
Магнитный лист: Непроницаемый разрез с потенциальным скачком Представьте тонкую поверхность S, присоединенную к токовому контуру, и рассматривайте ее как непроницаемый разрез. Определите скалярный потенциал, который при пересечении S подскочит на величину, равную силе тока. Циркуляция по соединительному контуру восстанавливается путем приближения к S с обеих сторон и интегрирования градиента по прерывистому контуру. H остается градиентным полем везде, кроме области выреза.
Построение листа в виде дипольного двойного слоя Распределите поверхность S по крошечным прямоугольным контурам, пропускающим одинаковый ток, таким образом, внутренние граничные токи нейтрализуются, оставляя только граничный ток. Каждый крошечный контур представляет собой диполь, перпендикулярный S, с поверхностной плотностью диполей, пропорциональной току, умноженному на μ0. Скалярный потенциал становится равным потенциалу двойного слоя и, следовательно, демонстрирует скачок, равный заданному току. Этот “магнитный лист” действует как эквивалентный источник, восстанавливающий правильную циркуляцию.
Независимость формы и особое поле на листе Для двойного слоя с постоянной плотностью на открытой поверхности скалярный потенциал не зависит от конкретной формы поверхности. Поле является потенциальным везде, за исключением листа, где сам потенциал является прерывистым. Величина поля на листе становится неограниченной, но это не представляет сложности, поскольку лист может быть произвольно деформирован без изменения поля в других местах. Эта свобода позволяет разместить разрез для удобства вычислений.
Два эквивалентных пути: Скалярный потенциал или векторный потенциал Магнитное поле токовой петли может быть получено либо путем дифференцирования скалярного потенциала магнитной пластины, либо путем скручивания векторного потенциала. Эти представления полностью эквивалентны, хотя их конструкции различаются. Скалярный маршрут позволяет получить потенциальное поле за пределами листа; векторный маршрут напрямую определяет соленоидальную природу поля. Любой из этих методов однозначно определяет поле за пределами разреза.
Топология превращает соленоидальное поле в потенциальное Удаление магнитного листа приводит к тому, что окружающее пространство топологически отличается от полного пространства. В полном пространстве поле является соленоидальным, в то время как в ограниченном пространстве оно является потенциальным, а лист является его источником. Это иллюстрирует, как пространственная топология изменяет свойства поля. Например, бесконечный прямой ток допускает любую полуплоскость, проходящую через провод, в качестве допустимого магнитного поля для построения скалярного потенциала.
Векторный потенциал через поверхностный ток: Непрерывность Запишите компоненты векторного потенциала для поверхностного тока в виде потенциалов простого слоя. Потенциалы простого слоя непрерывны по всей поверхности, следовательно, каждая декартова составляющая A непрерывна через S. Нормальная составляющая H, являющаяся тангенциальной производной этих непрерывных составляющих, также непрерывна. Разрывы возникают только в тангенциальных компонентах H.
Скачок тангенциальной H и формула компактной поверхности Тангенциальные составляющие H проскакивают через поверхностный ток, поскольку нормальные производные от потенциалов простого слоя являются дискретными. Компактное представление оценивает вращение A на поверхности с помощью интеграла по основному значению плюс член с половинным скачком. Результатом является [H_t] = K_s в векторной форме, при этом скачок равен поверхностной плотности тока. При этом нормальная составляющая B остается непрерывной на S.
Геометрические построения: Прямоугольник и Дот-бокс Небольшая прямоугольная петля, проходящая по поверхности, приводит, согласно закону Ампера, к скачку тангенциальной составляющей H, равному поверхностному току. Тонкий прямоугольник, пересекающий поверхность, дает, при делении B = 0, непрерывность нормальной составляющей B. Эти геометрические построения отражают те, которые используются в электростатике. Они усиливают граничные условия, не прибегая к теории интегрального потенциала.
Магнитный поток через контур и независимость от поверхности Магнитный поток через контур a равен потоку B через любую поверхность, охватывающую этот контур. Ориентация соответствует правилу правой руки с током в контуре. Величина магнитного потока не зависит от охватывающей поверхности. Это определение лежит в основе индуктивности.
Взаимная индуктивность: Симметричный двухлинейный интеграл Поток в контуре 2, обусловленный током в контуре 1, пропорционален I1, а коэффициент L21 определяется исключительно геометрией. Используя B = rot A и теорему Стокса, получаем Φ21 = ∮_L2 A1·dl. Подставляя выражение Био–Савара вместо A1, получаем симметричный двойной линейный интеграл по петлям. Симметрия подразумевает, что L12 = L21.
Помимо нитей накала: Современные трубки и объемная форма Когда проводники имеют конечное поперечное сечение, разделите их на тонкие токопроводящие трубки, пропускающие равномерные токи. Для пары трубок применяется приближение нити накала, и суммирование приводит к объемным интегралам по плотностям тока. В результате получается формула взаимной индуктивности, конечная, несмотря на особенности 1 / R. Взаимность по-прежнему дает L21 = L12.
Самоиндукция и практические примеры Самоиндукция не может использовать нитевидный двойной интеграл, поскольку особенность 1/R неинтегрируема вдоль линии. Объемная форма, однако, сходящаяся и определяет длину L. В результате получается длинный соленоид с длиной, пропорциональной μ0, умноженной на квадрат плотности витков, площади поперечного сечения и длины. Коаксиальные и двухпроводные линии обеспечивают стандартную индуктивность на единицу длины с логарифмической зависимостью от геометрических соотношений и дополнительным коэффициентом 1/2 при включении внутренней индуктивности.
Потокосцепления и симметричная матрица индуктивности Общая потокосцепляющая способность контура равна его собственному значению плюс вклады от всех других контуров, Φp = Σq Lpq Iq. Коэффициенты индуктивности зависят только от геометрии и симметричны, Lpq = Lqp. Эти соотношения кодируют взаимные взаимодействия посредством сил Ампера. Они обобщаются на любое количество циклов.
Закон Фарадея и самоиндуцированная ЭДС Изменяющийся во времени магнитный поток через контур индуцирует ЭДС, равную отрицательной производной от магнитного потока по времени. Закон применяется независимо от того, является ли поток внешним или генерируется самим собой. Для одиночного индуктора с Φ = Li ЭДС индуцирования равна −Ldi/dt. Этот принцип определяет динамику схемы.
Отклик на шаг RL и постоянная времени При замыкании последовательной цепи источник–резистор–катушка индуктивности получается дифференциальное уравнение ldi/dt + ri = E. Поскольку ток в катушке индуктивности не может изменяться мгновенно, i(t) возрастает экспоненциально с постоянной времени τ = L/R. Постоянный ток приближается к E/R. В конечном установившемся режиме мощность источника рассеивается в виде джоулева тепла в резисторе.
Учет энергии: Дополнительная половина LI2 В течение переходного процесса источник выдает больше энергии, чем рассеивается в виде тепла. Разница составляет (1/2) Li^2 при конечном токе. Этот избыток представляет собой энергию, запасенную в магнитном поле катушки индуктивности. Создание поля требует дополнительной работы, поскольку индукция противостоит изменениям.
Энергия поля в Дж·А и В·Ч Полная магнитная энергия может быть записана как (1/2) Σi Φ или эквивалентно (1/2) ∫ J·A dV. Используя векторные тождества и теряющий значение поверхностный член на бесконечности, преобразуем это значение в (1/2) ∫ B·H dV. Соответствующая плотность энергии равна w = (1/2) B·H в джоулях на кубический метр. Это преобразует энергию механического взаимодействия в энергию пространственно распределенного поля.
Механическая работа в магнитных системах Перемещение, деформация или перестановка контура в магнитном поле приводит к механической работе δA = I δΦ. Это справедливо для движения, деформации или перемещения в более сильные поля. В отличие от электростатики, эта работа заключается не просто в изменении энергии поля. Электромагнитная индукция изменяет токи, так что здесь соответствие нарушается.
Намагничивание в виде выровненных микроскопических токов Магнитные носители содержат микроскопические замкнутые токи, моменты которых ориентированы случайным образом без наличия поля. Приложенный H стремится выровнять их, создавая суммарный магнитный момент на единицу объема. Определите вектор намагниченности P как усредненную плотность дипольного момента. Макроскопически внутренние токи исчезают, и остаются только граничные эквиваленты.
Объемные и поверхностные молекулярные токи Пространственное изменение P создает эквивалентную объемную плотность тока, пропорциональную ротору P. На границе раздела, где P является прерывистым, протекает эквивалентный поверхностный ток, пропорциональный поверхности ротора, т.е. n × (P2 − P1). При наличии вакуума снаружи это сводится к поверхностному току, пропорциональному n × P. Это усредненные, а не микроскопические токи, которые служат эквивалентными источниками.
Векторный потенциал намагниченных тел через эквивалентные токи Векторный потенциал намагниченного вещества равен сумме значений токов проводимости, поверхностных токов проводимости, связанных поверхностных токов и связанных объемных токов. Выразите плотность дипольного потенциала в виде градиента 1/R и примените векторные тождества, чтобы преобразовать объемные скручивания в поверхностные интегралы. Интеграл по внешней поверхности обращается в нуль на бесконечности, в то время как внутренняя поверхность обертывания сводится к физическому интерфейсу. Результирующая величина A имеет точно такую же форму, как и для реальных токов в вакууме.
Почему завиток H игнорирует намагниченность Принимая B = μ0(H + P), получаем B = rot A и rot B = μ0(J + Jmol). Сравнение с rot(rot A) при div A = 0 дает rot H = J, исключая молекулярные токи. Таким образом, завихренность H определяется исключительно токами проводимости. Таким образом, механические силы определяются величиной B, которая содержит оба фактора.
Магнитные граничные условия в средах На границе раздела магнитных полей тангенциальная составляющая H изменяется в зависимости от плотности тока поверхностной проводимости. Нормальная составляющая B непрерывна, поскольку div B = 0. Эти условия аналогичны условиям для D и E в диэлектриках, при этом роли соответственно меняются. Они держатся независимо от деталей намагничивания.
Ключевые аналогии и роль В Магнитостатика отражает электростатику при тщательном обмене: H соединяется с D относительно источников, в то время как B соединяется с E относительно сил. Уравнения поля принимают вид rot H = J и div B = 0, где B = μ0 (H + P). В расчетах могут использоваться скалярные потенциалы с магнитными листьями или векторные потенциалы с токами. Помните, что B определяет взаимодействия, в то время как завиток H отражает только токи проводимости.