Построение модели погони за зомби в виде кривой преследования Поместите точку A в начало координат на оси Y и точку B над ней; человек бежит прямо из точки A в точку B с постоянной скоростью k·v. Зомби стартует с точки C = (1, 0) на оси X и всегда бежит прямо на человека со скоростью v. Цель состоит в том, чтобы найти траекторию движения зомби (кривую преследования) и определить, при каких скоростных соотношениях возможен побег.
Траектория определяется углом касания линии обзора В момент времени t человек находится в точке P = (0, k·v·t), а зомби - в точке M = (x, y(x)) при 0 ≤ x ≤ 1. Линия обзора PM проходит по касательной к траектории зомби, поэтому ее наклон равен y'(x). Геометрия дает x·y'(x) − y(x) = −k·v·t.
Сокращение времени за счет длины дуги для получения ODE Длина пробега зомби равна v·t, которая представляет собой длину дуги от C до M: ∫ от x до 1 из sqrt(1 + (y')2) dξ. Подстановка дает x·y' − y = −k ∫ от x до 1 квадратного метра(1 + (y')2) dξ. Дифференцирование дает ОДУ второго порядка x·y" = k ·sqrt(1 + (y')2) с начальными условиями y(1) = 0 и y'(1) = 0.
Вычисление наклона кривой преследования Пусть p(x) = y'(x); тогда x·dp/dx = k·sqrt(1 + p2). Разделение и интегрирование дают ln(p + sqrt(1 + p2)) = k·ln x + const, а из p(1) = 0 следует const = 0. Следовательно, p + sqrt(1 + p2) = x ^ k и p(x) = 0,5·(x ^ k − x^(−k)).
Явная траектория для k ≈ 1 и для k = 1 Интегрирование p дает y(x) = 0,5·[x ^(k+ 1)/(k+ 1) − x ^(1−k)/(1−k)] + C, а y(1) = 0 дает C = k/(1 − k2). Для k = 1, y(x) = x2/4 − (1/2)·ln x − 1/4. Соответствующая часть кривой равна x в [0, 1].
Сбежать в бесконечный бег Если k ≥ 1, то y(x) → +∞ как x → 0+, поэтому кривая имеет вертикальную асимптоту при x = 0, и человек всегда убегает. Если k < На рис. 1 кривая пересекает ось Y на конечной высоте y(0) = k/(1 - k2), что означает возможный захват. Следовательно, для выживания на бесконечном расстоянии необходимо быть как минимум таким же быстрым, как зомби.
Достижение конечной безопасной точки Если B находится на расстоянии L от A, для выхода требуется, чтобы Y-перехват превысил L: y(0) = k/(1 − k2) > L. Это неравенство устанавливает минимальное соотношение скоростей k, необходимое для достижения B перед перехватом. Когда человек удовлетворен, он первым достигает точки B, даже если k < 1.
Золотое сечение в специальном корпусе При AC = AB = 1 значение L = 1 дает k = (√5 − 1)/2 = 1/ φ, так что кривая преследования точно совпадает с B. За это же время зомби преодолевает расстояние 1/k = φ, золотое сечение. Таким образом, φ естественным образом появляется в задаче о преследовании зомби.