8.02x - Lect 3 - Электрический поток, закон Гаусса, примеры

Электрический поток количественно определяет величину электрического поля, проходящего через открытую поверхность, путем интегрирования точечного произведения поля и каждого бесконечно малого элемента поверхности. Каждый элемент вносит свой вклад в зависимости от его площади и косинуса угла между вектором поля и нормалью к элементу, эффективно изолируя перпендикулярную составляющую. Аналогия с потоком воздуха через наклоненный прямоугольник показывает, что только компонент, выровненный по нормали к поверхности, влияет на поток. Этот подход расширяет существующие концепции, такие как закон Кулона и силовые линии, плавно соединяя их с концепцией потока с использованием согласованных единиц СИ.

Уникальные нормали определяют суммарный поток на замкнутых поверхностях Полностью замкнутая поверхность, подобная воздушному шару, имеет четко определенную нормаль в каждой точке, которая направлена изнутри наружу. Это свойство делает расчет магнитного потока однозначным, поскольку скалярное произведение электрического поля и элемента площади дает четко определенную скалярную величину. Чистый поток отражает баланс между тем, что выходит с поверхности и входит в нее, при этом положительные и отрицательные знаки указывают на большее количество линий поля, выходящих или входящих соответственно.

Сферическая оболочка Обеспечивает постоянный Электрический поток Когда положительный точечный заряд окружен сферической поверхностью, электрическое поле и элементы площади идеально выровнены. Постоянное расстояние от заряда обеспечивает равномерность величины электрического поля по всей сфере, а умножение ее на площадь поверхности сферы напрямую определяет величину магнитного потока. Этот расчет упрощается до величины заряда, деленной на эпсилон ноль, демонстрируя, что поток остается постоянным независимо от размера сферы.

Закон Гаусса гласит, что электрический поток, проходящий через любую замкнутую поверхность, равен общему заряду, деленному на эпсилон ноль, независимо от формы поверхности. Эта концепция применима как к единичному, так и к множеству зарядов путем векторного суммирования их эффектов, подтверждая, что нулевой поток означает отсутствие суммарного внутреннего заряда. Несмотря на универсальность, практические расчеты электрических полей требуют симметричного распределения зарядов. Закон находит эффективное применение в установках со сферической, цилиндрической или равномерно заряженной плоской симметрией.

Использование сферической симметрии в законе Гаусса Равномерно заряженная тонкая сферическая оболочка иллюстрирует силу симметрии в расчетах электрического поля. Заряд распределен равномерно, что естественным образом определяет выбор концентрических сферических гауссовых поверхностей. Эта симметрия гарантирует, что поле имеет одинаковую величину на любой такой поверхности и должно быть направлено радиально.

Нулевое поле внутри и Обратноквадратное уменьшение снаружи Когда гауссова поверхность лежит внутри оболочки, она не содержит заряда, и поэтому, согласно закону Гаусса, электрическое поле полностью нейтрализуется. Для поверхности, находящейся за пределами оболочки, весь заряд заключен в оболочку, что приводит к возникновению электрического поля, которое определяется как Q, деленное на 4nr2e₀. Поле переходит от нуля на границе оболочки и затем уменьшается на единицу с увеличением квадрата расстояния.

Унифицированное поведение обратных квадратов в физике Анализ подтверждает, что равномерно заряженная сфера создает такое же внешнее поле, как и точечный заряд в ее центре. Этот результат подчеркивает существенную природу закона обратных квадратов, который присущ как электрическим, так и гравитационным силам. Это показывает, как единообразное распределение позволяет обрабатывать сложные системы с помощью более простых централизованных моделей.

Бесконечная плоскость с однородной плотностью заряда (sigma) задает сценарий для получения электрического поля во всех областях пространства. В рамках этого подхода создается замкнутая гауссова поверхность, состоящая из двух параллельных плоских поверхностей, расположенных на одинаковом расстоянии над и под плоскостью, и вертикальных стенок, ориентированных перпендикулярно. Такое тщательное выравнивание гарантирует, что электрический поток не проходит через вертикальные стенки, изолируя их от плоских поверхностей. Полученный в результате аргумент симметрии дает элегантный и простой расчет электрического поля, создаваемого равномерно заряженной плоскостью.

Бесконечно заряженная плоскость создает электрическое поле постоянной величины, сигма больше 2 эпсилон-нуля, независимо от расстояния. Постоянное поле возникает в результате одинаковых воздействий по всей плоскости, при этом положительный заряд выталкивает поле наружу, а отрицательный притягивает его внутрь. Эта однородность сохраняется только тогда, когда измерения проводятся вблизи плоскости; для конечных поверхностей на больших расстояниях поле уменьшается подобно точечному заряду.

Анализ приближает очень большие пластины к бесконечности по сравнению с их разделением, что упрощает расчеты электрического поля. Известный результат для бесконечных заряженных плоскостей используется для оценки влияния положительно заряженной пластины с поверхностной плотностью плюс сигма и отрицательно заряженной пластины с поверхностной плотностью минус сигма, разделенных расстоянием d. Основное внимание уделяется определению распределения электрического поля по всему пространству вокруг этих пластин и между ними, что создает предпосылки для создания более сложных электростатических конфигураций.

Бесконечно заряженные пластины генерируют постоянное электрическое поле, равное сигме, деленной на два эпсилон-нуля, независимо от расстояния. Положительные пластины излучают поля наружу, в то время как отрицательные пластины создают поля, направленные внутрь, что обеспечивает простое сложение векторов по принципу суперпозиции. При рассмотрении перекрывающихся полей от противоположно заряженных пластин их вклады сводятся на нет в определенных областях и суммируются в других, что приводит к нулевому полю на одной стороне и объединенному полю, равному сигме, деленной на эпсилон нуля, на стороне опоры.

Граничные поля на краях пластин конденсатора Когда огромные пластины расположены так, чтобы создать однородное поле между ними, в центральной области образуются плотно расположенные силовые линии поля, в то время как по краям наблюдается быстрое снижение плотности. Предположение о равномерности быстро теряет силу вблизи границ пластин, где симметрия нарушается. Новаторские расчеты Максвелла позволили выявить эти побочные эффекты, что теперь легко решается с помощью современных вычислений.

Устойчивые поля вблизи большой заряженной плоскости Большая заряженная плоскость создает электрическое поле, которое вблизи ее поверхности остается почти постоянным. Измерения с заряженным воздушным шаром показали лишь незначительные изменения угла отклонения на небольших расстояниях. Это показывает, что в области ближнего поля конечный размер плоскости поддерживает приблизительно равномерное поле.

Быстрое затухание сферических электрических полей Сферическое распределение заряда создает электрическое поле, которое резко уменьшается с расстоянием по закону обратных квадратов. Наблюдения с использованием заряженного воздушного шара показали резкое уменьшение угла отклонения при удвоении расстояния. Это быстрое уменьшение подчеркивает отличие от однородного плоского поля, концентрирующего эффект заряда в центре.

Пренебрежимо малое поле внутри равномерно заряженной полой сферы Равномерно заряженный полый проводник практически не проявляет электрического поля внутри себя, что подтверждено экспериментами по индукции с проводящими сферами. При размещении вне сферы объекты демонстрировали заметное разделение зарядов, но аналогичные тесты внутри сферы практически не давали заряда. Этот результат подтверждает теоретическое предсказание о том, что полностью замкнутая, равномерно заряженная поверхность приводит к отсутствию магнитного поля внутри.

Две параллельные пластины, заряженные с помощью устройства Wimshurst, создают отдельные области положительного и отрицательного заряда, создавая электрическое поле, которое выходит за пределы их границ. Проводящий шарик для пинг-понга, окрашенный для повышения электропроводности, следует за линиями поля, подпрыгивая между пластинами, тем самым передавая заряд при каждом контакте. Помещая шарик в пространство между пластинами, мы обнаруживаем гораздо более сильное поле с более плотными линиями высокой интенсивности, что отражает более ранние наблюдения, сделанные с помощью подпрыгивающего шарика в аналогичной электрической установке.